[論文レビュー] Compactifications of topological groups

Vladimir Uspenskij|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、位相的群の自然なコンパクト化——特に最大アービット S(G)、ロエルケコンパクト化 R(G)、弱い周期的コンパクト化 W(G)——を導入し、それらが群の性質（最小性や極端に可換性）を特徴付ける役割を果たすことを示している。主な結果として、直径1のユルソフ普遍距離空間の等長変換群である普遍ポーランド群 Is(U₁) が最小かつロエルケ前コンパクトであることが示され、任意の位相的群が同じ重みを持つ最小かつロエルケ前コンパクト群に埋め込めることが示された。

ABSTRACT

Every topological group $G$ has some natural compactifications which can be a useful tool of studying $G$. We discuss the following constructions: (1) the greatest ambit $S(G)$ is the compactification corresponding to the algebra of all right uniformly continuous bounded functions on $G$; (2) the Roelcke compactification $R(G)$ corresponds to the algebra of functions which are both left and right uniformly continuous; (3) the weakly almost periodic compactification $W(G)$ is the envelopping compact semitopological semigroup of $G$ (`semitopological' means that the multiplication is separately continuous). The universal minimal compact $G$-space $X=M_G$ is characterized by the following properties: (1) $X$ has no proper closed $G$-invariant subsets; (2) for every compact $G$-space $Y$ there exists a $G$-map $X o Y$. A group $G$ is extremely amenable, or has the fixed point on compacta property, if $M_G$ is a singleton. We discuss some results and questions by V. Pestov and E. Glasner on extremely amenable groups. The Roelcke compactifications were used by M. Megrelishvili to prove that $W(G)$ can be a singleton. They can be used to prove that certain groups are minimal. A topological group is minimal if it does not admit a strictly coarser Hausdorff group topology.

研究の動機と目的

• 位相的群の自然なコンパクト化を、群の構造と力学的性質を研究するための道具として分析すること。
• 普遍最小コンパクト G-空間 MG が極端に可換性を決定する役割を特徴づけること。
• 特に Is(U₁) を含む等長変換群の最小性およびロエルケ前コンパクト性を、コンパクト化の技法を用いて調査すること。
• 任意の位相的群が、同じ位相的重みを持つ最小かつロエルケ前コンパクト群に埋め込めるということを確立すること。

提案手法

• G 上の右一様連続有界関数の C*-代数の最大理想空間として、最大アービット S(G) を構成する。
• L と R をそれぞれ左および右一様構造とするとき、(G, L ∧ R) のサミュエルコンパクト化としてロエルケコンパクト化 R(G) を定義する。
• G の包拡位相的半群としての弱い周期的コンパクト化 W(G) を、それぞれ連続な乗法を持つものとして用いる。
• R(G) を直径1の距離空間で、2つの等長写像による被覆をもつ U₁ の2つのコピーで被覆されるものにパラメトライズするコンパクト部分空間 Θ ⊂ I^{U₁²} と同一視する。
• 非可分な U₁ の類似物を用いて、任意の非可算な重みを持つ群への最小性の結果の一般化を図る。
• R(G) が関係合成に関する順序付き半群としての自然な構造を持つことを利用して、Is(U₁) の最小性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロエルケコンパクト化は、位相的群における最小性を特徴付けるために用いることができるか？
• RQ2 ユルソフ普遍距離空間 U₁ の等長変換群は最小かつロエルケ前コンパクトか？
• RQ3 弱い周期的コンパクト化 W(G) がシングルトンになる条件は何か？
• RQ4 すべての位相的群は、同じ位相的重みを持つ最小かつロエルケ前コンパクト群に埋め込めるか？
• RQ5 非可算な重みを持つ普遍の位相的群で、最小かつロエルケ前コンパクトであるようなものは存在するか？

主な発見

• 直径1のユルソフ普遍距離空間の等長変換群である普遍ポーランド群 Is(U₁) は最小である。
• Is(U₁) のロエルケコンパクト化 R(G) は、直径1の距離空間で、2つの等長写像による被覆をもつ U₁ の2つのコピーで被覆されるものにパラメトライズするコンパクト部分空間 Θ ⊂ I^{U₁²} に位相的に同型である。
• 空間 R(G) は関係合成に関する順序付き半群としての自然な構造を持ち、順序は包含関係によって与えられる。
• 普遍最小コンパクト G-空間 MG がシングルトンであることと、G が極端に可換であることとは同値であり、これは Pestov による Is(U₁) に関する結果によって示された。
• 任意の位相的群 G は、適切な普遍距離空間 X に対して Is(X) への埋め込みによって、同じ重みを持つ最小かつロエルケ前コンパクト群の部分群として同型に埋め込める。
• 群 Is(U₁) はロエルケ前コンパクトではないが、直径1の空間への制限によって、最小かつロエルケ前コンパクトな群が得られる。