[論文レビュー] Compactifications polygonales d'un immeuble affine

Cyril Charignon|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、アパートメントの方向空間の凸錐への分割を用いて、局所的に有限なアフィンビルディングの群作用に依存しない純粋幾何的コンパクト化を導入する。これは古典的な多角形コンパクト化を一般化し、このような分割によってインデックス付けられた複数のコンパクト化を許容し、境界構造はワイル群の部分群によって決定される。主な貢献は、標準的条件下でコンパクト性、正則性、一意性を保証する位相的構成であり、アパートメント埋め込みに関する補助的結果も含む。

ABSTRACT

We define a compactification of an affine building $\I$ indexed by a family of partitions of the director space $\vec A$ of one of its appartments $A$. This compactification is similar to Satake's compatification of a symetric space, and it generalizes the quite well known polygonal compactification of an affine building in the sense that it is independant of the action of a group on the building, and that it allows some variations depending on the choice of the partition of $\vec A$. The different choices will mainly lead to different subgroups of the Weyl group acting on the border of $A$. Along the proofs, we get some results to help one find subsets of the building wich are included in an apartment, for exemple we prove that two sector facets can always be reduced so that they fit in one apartment.

研究の動機と目的

• 群作用に依存しないアフィンビルディングのコンパクト化を構築し、古典的なSatakeや多角形コンパクト化を超えること。
• アパートメントの方向空間の凸錐への分割によってインデックス付けされた既存のコンパクト化を一般化すること。
• コンパクト性、正則性、一意性を保証する位相的枠組みを確立すること。
• ビルディングの部分集合が単一のアパートメントに含まれるための幾何的基準を提供し、構造的理解を深めること。
• ギャラリー、チャーマー、セクターの埋め込みに関する結果を統一的かつ一般化して共通のアパートメントに統合すること。

提案手法

• 参考アパートメントのコンパクト化を定義し、各面が方向空間の分割における錐に対応する多角形境界を追加する。
• 錐の型と射影によって定義される近傍を用いて、コンパクト化されたアパートメントに位相を構成し、正則性とコンパクト性を保証する。
• 同一型の同型写像を用いて、コンパクト化されたアパートメントを貼り合わせることで、全ビルディングへのコンパクト化を拡張する。この際、構造を保存するための標準的埋め込みを用いる。
• 錐の「コア」と錐の同値類の概念を用いて、コンパクト化されたビルディングの境界点を定義する。
• 近傍と再び射影の挙動を分析することで、得られた空間がハウスドルフ的で、第二可算的かつコンパクトであることを証明する。
• 例えば、2つのセクターフェースが共通のアパートメントに還元可能であるといった、アパートメント埋め込みに関する結果（例：2つのセクターフェースが共通のアパートメントに含まれること）を活用し、ビルディング全体に一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用を仮定せずに、ビルディングの方向空間の幾何的データのみを用いて、アフィンビルディングのコンパクト化を定義できるか？
• RQ2 アパートメントの方向空間の異なる分割は、どのように異なるコンパクト化を生じさせ、ワイル群はその変動において果たす役割は何か？
• RQ3 2つのセクターフェース（一般には2つのギャラリー）が共通のアパートメントに埋め込めるための条件は何か？
• RQ4 コンパクト化されたビルディングの境界は、元のワイル群の部分群によってインデックス付けされたアフィンビルディングの和集合としてどのように記述できるか？
• RQ5 標準的仮定のもとで、構築されたコンパクト化は一意的か？また、どのような位相的性質を満たすか？

主な発見

• ビルディングのコンパクト化はハウスドルフ的かつ第二可算的であり、良好に扱える位相空間であることが保証される。
• コンパクト化されたビルディングはコンパクトであり、境界は選択された錐分割によってインデックス付けされたアフィンビルディングの和集合で構成される。
• この構成はいかなる群作用にも依存せず、Satakeおよび多角形コンパクト化を純粋幾何的設定に一般化する。
• ビルディング内の2つのセクターフェースは、共通のアパートメントに還元可能であり、これはチャーマーに関する既知の結果を一般化する。
• コンパクト化における面の境界は、その面がワイル群の下で固定する部分群によって決定される、コンパクト化されたアフィンビルディングそのものである。
• コンパクト化されたビルディングからその閉包への標準的写像は連続的で、閉集合であり、元のビルディングを固定するため、コンパクト化が適切に定義されていることが確認される。