[論文レビュー] Compactified Time and likely Entropy -- World Inside Time Machine: Closed Time-like Curve --

H. B. Nielsen, Masao Ninomiya|ArXiv.org|Jan 9, 2006

Neural Networks and Applications参考文献 3被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、周期的で周期 $T$ の時間を持つ宇宙の古典的および量子力学的モデルを検討する。周期性を課すことにより、著者らはエントロピーが最大化されず、むしろマクロ状態全体にわたって滑らかに分布することを示し、時間平均でのエントロピーが一定に保たれることを示している。これは、このような閉じた時空的曲線（CTC）宇宙では、エントロピーが増加する第二法則を自然に説明できないことを示唆している。

ABSTRACT

If a macroscopic (random) classical system is put into a random state in phase space, it will of course the most likely have an almost maximal entropy according to second law of thermodynamics. We will show, however, the following theorem: If it is enforced to be periodic with a given period $T$ in advance, the distribution of the entropy for the otherwise random state will be much more smoothed out, and the entropy could be very likely much smaller than the maximal one. Even quantum mechanically we can understand that such a lower than maximal entropy is likely. A corollary turns out to be that the entropy in such closed time-like loop worlds remain constant.

研究の動機と目的

• 時間対称モデルにおいて、compact化された時間が第二法則の熱力学を説明できるかを検討すること。
• 固定周期 $T$ で強制された周期的状態におけるエントロピーの統計的分布を調査すること。
• このような周期的系が、第二法則の予測とは逆に、非最大で一定のエントロピーを支持できるかを特定すること。
• 閉じた時空的曲線（CTC）に類似した構造がエントロピーおよび熱力学的時間の矢に与える影響を検討すること。
• 時間に周期的境界条件を課すことが、熱力学的不可逆性のより深い理解の基盤となり得るかを評価すること。

提案手法

• モデルは古典的または量子力学的系に固定周期 $T$ を課し、時間をコンact $S^1$ 多様体として扱う。
• 系の時間発展はハミルトニアン $H$ に従い、周期性の条件は $e^{-iTH} = 1$ を要求し、これによりエネルギー固有値 $E_n = 2\bar{h}\pi n / T$ が量子化される。
• マクロ状態は保存量の集合 $\{I_i\}$ で定義され、エントロピーは $S(\{I_i\}) = \log \dim \mathcal{H}_{\{I_i\}}$ で与えられる。ここで $\mathcal{H}_{\{I_i\}}$ はこれらの量子数を持つ状態のヒルベルト部分空間を表す。
• 解析により、周期性条件を満たすのは $I_1^\prime = 2\pi n / T$ を満たすマクロ状態に限られ、許容される状態が著しく制限される。
• 周期性制約を満たす部分空間の次元の対数としてエントロピーが計算され、マクロ状態全体にわたってエントロピーが滑らかに分布することが示された。
• 量子力学的取り扱いではハミルトニアンをマクロな変数として扱い、周期性条件は時間並進演算子 $e^{-iTH}$ から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間対称モデルにおいて、compact化された時間が第二法則の要求するようにエントロピーが増加するのを自然に生じさせられるか？
• RQ2 固定周期 $T$ で強制された周期的系におけるエントロピーの統計的分布は何か？
• RQ3 時間に周期性を課すことで、最大エントロピー状態が抑制されるのか、もしそうならその理由は何か？
• RQ4 閉じた時空的曲線（CTC）宇宙は時間経過で一定のエントロピーを示すことができるか？ これは時間の矢に何を意味するか？
• RQ5 時間がcompact化された場合、時間反転不変な法則と第二法則の熱力学が両立可能か？

主な発見

• 周期 $T$ を強制された系におけるエントロピーは最大化されず、むしろマクロ状態全体にわたって滑らかに分布し、最大エントロピーへの偏向がない。
• 周期性条件を満たすのはエネルギー固有値 $E_n = 2\pi n / T$ を持つマクロ状態に限られ、許容される状態が著しく制限される。
• 時間並進演算子 $e^{-iTH}$ は許容される状態上で恒等的に作用し、系が時間 $T$ 経過後に初期状態に戻ることを確認し、CTC構造が成立することを裏付けた。
• エントロピーは時間ループ全体で概ね一定に保たれ、増加がないため、第二法則の予測とは矛盾する。
• エントロピーの確率分布は許容されるマクロ状態全体で一様であるが、位相空間体積 $e^{S}$ の大きな変動にもかかわらず、滑らかな統計的挙動を示している。
• このモデルは第二法則の熱力学を再現できないため、時間反転不変性と観測されるエントロピーの増加の間には根本的な不整合があると示唆している。