[論文レビュー] Compactifying String Topology

Kate Poirier, Nathaniel Rounds|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、閉じた向き付け可能でリーマン的構造を持つ多様体 $M$ の自由ループ空間 $LM$ の特異的チェインに、コンパクト化されたストリング図のセルチェイン $\overline{SD}(g,k,\ell)$ のチェインレベル作用を構成する。この作用が誘導するホモロジーレベルの作用は、$H_*(LM)$ 上の Cohen-Godin 正の境界を有するトポロジカル量子場理論（TQFT）構造を回復し、リーマン面のモジュライ空間のコンパクト化・セルラーモデルを通じてストリングトポロジー作用素のチェインレベル実現を提供する。

ABSTRACT

We study the string topology of a closed oriented Riemannian manifold M. We describe a compact moduli space of diagrams, and show how the cellular chain complex of this space gives algebraic operations on the singular chains of the free loop space LM of M. These operations are well-defined on the homology of a quotient of this moduli space, which has the homotopy type of a compactification of the moduli space of Riemann surfaces. In particular, our action of the 0-dimensional homology of the quotient space on the homology of the free loop space of M recovers the Cohen-Godin positive boundary TQFT.

研究の動機と目的

• リーマン面のモジュライ空間のコンパクト化されたモデルを用いて、自由ループ空間 $LM$ の特異チェインに作用するチェインレベル作用を構成すること。
• Sullivan のコード図がリーマン面モジュライ空間の完全なホモトピー型を捉えていないという欠陥を解消すること。
• チェインレベルで well-defined なストリングトポロジー作用素を実現できる、セルラーモデルとしてのコンパクト化モデル $\overline{SD}(g,k,\ell)$ を提供すること。
• 商空間 $\overline{SD}/\sim$ のホモロジーが、$H_*(LM)$ 上の Cohen-Godin 正の境界 TQFT を回復することを示すこと。

提案手法

• Sullivan のコード図を一般化した、ストリング図のコンパクト化モジュライ空間 $\overline{SD}(g,k,\ell)$ を CW 複体として導入する。
• 次数 $(2 - 2g - k - \ell)d$ のチェイン写像 $\mathcal{ST}: \mathcal{C}_*(\overline{SD}) \otimes C_*(LM) \to C_*(LM)$ を定義する。
• 同じホモロジー作用素をもたらす図を同定するための同値関係 $\sim$（スライド同値）を導入する。
• $\mathcal{ST}$ がチェイン写像であることを証明し、境界作用素と整合することを保証する。
• $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 上の作用が、表面の貼り合わせと可換であることを示す可換図式を確立する。
• 商空間 $\overline{SD}/\sim$ を用いて、リーマン面モジュライ空間のコンパクト化とホモトピー同値な well-behaved なホモトピー型を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面モジュライ空間のコンパクト化・セルラーモデルは、自由ループ空間の特異チェインにチェインレベル作用を支持できるか？
• RQ2 $\overline{SD}/\sim$ のホモロジーは、$H_*(LM)$ 上の Cohen-Godin 正の境界 TQFT を回復するか？
• RQ3 提案されたチェイン写像 $\mathcal{ST}$ は、既知のホモロジーレベルのストリングトポロジー作用素とどのように関係するか？
• RQ4 $H_0(\overline{SD}/\sim)$ が $H_*(LM)$ 上に作用するとき、表面の貼り合わせ操作と整合性を保つか？
• RQ5 Sullivan のコード図がモジュライ空間の完全なホモトピー型を捉えていないという欠陥は、コンパクトなセルラーモデルによって是正可能か？

主な発見

• $\mathcal{ST}: \mathcal{C}_*(\overline{SD}(g,k,\ell)) \otimes C_*(LM) \to C_*(LM)$ は適切に定義されており、微分を尊重するため、チェインレベル作用が確立される。
• $\mathcal{ST}_*: H_0(\overline{SD}/\sim) \otimes H_*(LM) \to H_*(LM)$ によるホモロジー上の誘導写像は、Cohen-Godin 正の境界 TQFT 構造を回復する。
• $\overline{SD}/\sim$ は、リーマン面モジュライ空間のコンパクト化とホモトピー型を共有する。
• $H_0(\overline{SD}/\sim)$ が誘導する作用は、ホモロジーレベルで Sullivan のコード図による定義と一致する。
• $H_0(Sull(g,k,\ell)) \to H_0(\overline{SD}(g,k,\ell)/\sim)$ の同型は、$H_*(LM)$ 上に余単位のない Frobenius 代数の同型を誘導する。
• 表面の貼り合わせと整合性を示すために、貼り合わせ写像 $\#_\mathfrak{s}$ とストリングトポロジー作用素を含む可換図式が得られる。