[論文レビュー] Compactness and an approximation property related to an operator ideal

Anil Kumar Karn, D. P. Sinha|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、作用素的理想 $σ$ に対して、Banach 空間の $\sigma$-近似性質 ($\mathcal{A}$-a.p.) を導入し、$\mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ および $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}$ における有限ランク作用素の稠密性によって特徴づけている。主な結果として、$\ell_\infty$-拡張性質を有する単射的 $\mathcal{A}$ に対して、$X$ が $\mathcal{A}$-a.p. を持つことと $(\mathcal{A}^{\min})^{\text{inj}} = \mathcal{A}^{\min}$ が同値であること、および $X^*$ に対して双対的な結果が得られ、古典的な近似性質が作用素的理想の文脈に拡張されている。

ABSTRACT

For an operator ideal $\mathcal A$, we study the composition operator ideals ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}$ and ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, where $\mathcal K$ is the ideal of compact operators. We introduce a notion of an $\mathcal A$-approximation property on a Banach space and characterise it in terms of the density of finite rank operators in ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$ and ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}$. We propose the notions of $\ell_{\infty}$-extension and $\ell_{1}$-lifting properties for an operator ideal $\mathcal A$ and study ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, ${\mathcal}\circ{\mathcal A}$ and the $\mathcal A$-approximation property where $\mathcal A$ is injective or surjective and/or with the $\ell_{\infty}$-extension or $\ell_{1}$-lifting property. In particular, we show that if $\mathcal A$ is an injective operator ideal with the $\ell_\infty$-extension property, then we have: (a) $X$ has the $\mathcal A$-approximation property if and only if $({\mathcal A}^{min})^{inj}(Y,X)={\mathcal A}^{min}(Y,X)$, for all Banach spaces $Y$. (b) The dual space $X^*$ has the $\mathcal A$-approximation property if and only if $(({\mathcal A}^{dual})^{min})^{sur}(X,Y)=({\mathcal A}^{dual})^{min}(X,Y)$, for all Banach spaces $Y$.}For an operator ideal $\mathcal A$, we study the composition operator ideals ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$,

研究の動機と目的

• 作用素的理想 $\mathcal{A}$ に対して、Banach 空間 $X$ の古典的近似性質を一般化する $\mathcal{A}$-近似性質（a.p.）を導入すること。
• $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ および $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}$ における有限ランク作用素の稠密性によって、$\mathcal{A}$-a.p. を特徴づけること。
• $\ell_\infty$-拡張性質および $\ell_1$-リフト性質が、合成的理想および $\mathcal{A}$-a.p. の挙動に与える役割を調査すること。
• $X$ の $\mathcal{A}$-a.p. と $X^*$ の $\mathcal{A}^\text{dual}$-a.p. の間の双対性結果を確立し、特に単射的および全射的理想的な場合に焦点を当てる。
• $p$-和算可能な作用素およびその近似性質に関する既知の結果を、一般の作用素的理想枠組みへと拡張すること。

提案手法

• 作用素的理想 $\mathcal{A}$ に対し、$\text{com}: \mathcal{A} \mapsto \mathcal{K} \circ \mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ を導入し、$\mathcal{A}$ に関連するコンパクトレベルの対象を定義する。
• すべての Banach 空間 $Y$ に対して、$\overline{\mathcal{F}}(Y,X)$ が $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}(Y,X)$ および $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}(Y,X)$ に稠密であるという条件として、$\mathcal{A}$-近似性質を定義する。
• 作用素的理想における $\ell_\infty$-拡張性質および $\ell_1$-リフト性質を導入し、作用素的理想理論における射影的性質を一般化する。
• 単射的（全射的）理想的な合成が単射的（全射的）であること、および $\ell_\infty$-拡張（または $\ell_1$-リフト）性質を有する理想的な合成が、これらの性質を保存することを示す。
• 双対性および到達可能性性質を用いて、$({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}$ および $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}$ を、ノルム稠密性条件を通じて $\mathcal{A}$-a.p. と関連付ける。
• 到達可能性仮定の下で、核手続きを用いて $({\mathcal{A}}^{\text{com}})^{\text{inj}}$ と $({\mathcal{A}}^{\text{com}})^{\text{sur}}$ がそれぞれ $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}$ および $({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}$ と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach 空間 $X$ の $\mathcal{A}$-近似性質が、すべての Banach 空間 $Y$ に対して $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$ と同値であるのはいつか？
• RQ2 $X^*$ の $\mathcal{A}$-a.p. は、$(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}$ の全射的包とどのように関係するか？
• RQ3 $\ell_\infty$-拡張性質および $\ell_1$-リフト性質は、合成的理想における単射的／全射的性質および双対性を保つために果たす役割は何か？
• RQ4 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}} = {\mathcal{A}}^{\min}$ が $X$ の $\mathcal{A}$-a.p. を示すために成立する条件は何か？
• RQ5 既知の $\Pi_p$ の $p$-和算可能な近似性質の特徴づけは、どのように一般の作用素的理想枠組みへと一般化されるか？

主な発見

• 単射的で $\ell_\infty$-拡張性質を有する作用素的理想 $\mathcal{A}$ に対して、$X$ が $\mathcal{A}$-a.p. を持つことと、すべての Banach 空間 $Y$ に対して $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$ が成り立つことは同値である。
• 双対空間 $X^*$ に対しては、$\mathcal{A}$-a.p. が成り立つことと、すべての Banach 空間 $Y$ に対して $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}(X,Y) = ({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}(X,Y)$ が成り立つことは同値である。
• $\mathcal{A}$ が右到達可能で全射的であれば、$X$ が $\mathcal{A}$-a.p. を持つことと、すべての $Y$ に対して $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{sur}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$ が成り立つことは同値である。
• $\mathcal{A}$ が右到達可能で全射的であれば、$X^*$ が $\mathcal{A}$-a.p. を持つことと、すべての $Y$ に対して $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{inj}}(X,Y) = ({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}(X,Y)$ が成り立つことは同値である。
• 既知の [8] の定理 4.5 および 4.6 を一般化し、$\Pi_p$-近似性質が $\mathcal{A} = \Pi_p$ の場合の $\mathcal{A}$-a.p. の特別なケースであることが示された。
• $\ell_\infty$-拡張性質および $\ell_1$-リフト性質が理想的な合成において保存され、$\mathcal{A}^{\min}$ の単射的および全射的包を特徴づける上で中心的な役割を果たすことが示された。