[論文レビュー] Compactness and Shi-type estimate of the Ricci flow based on Ricci curvature

Chih‐Wei Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、n次元リッチフローにおける曲率作用素の均一な局所的境界を、リッチ曲率と注ぎ込み半径の局所的境界のみを用いて確立する。これにより、曲率作用素の仮定なしにリッチフローおよびソリトンの新しいコンパクト性定理が得られる。さらに、注ぎ込み半径が未知であっても、スカラー曲率の微分の制御のもとで、シ型推定式が得られる。

ABSTRACT

We show that a uniform local bound for the curvature operator can be derived from local bounds of Ricci curvature and injectivity radius among all $n$-dimensional Ricci flows. As a consequence, we obtain new compactness theorems for the Ricci flow and Ricci soliton without assuming any bounds on the curvature operator. In the second part of this paper, we discuss the behavior of Ricci curvature and its derivative when the injectivity radius is thoroughly unknown. In particular, a Shi-type estimate for Ricci curvature is derived when the derivative of Ricci curvature is controlled by the derivative of scalar curvature.

研究の動機と目的

• リッチフローにおける局所的リッチ曲率と注ぎ込み半径の境界からの、曲率作用素の均一な局所的境界の導出。
• 曲率作用素の境界を仮定しないリッチフローおよびリッチソリトンのコンパクト性定理の確立。
• 注ぎ込み半径が制御されていない場合のリッチ曲率およびその微分の分析。
• スカラー曲率の微分の制御のもとで、リッチ曲率のシ型推定式の導出。

提案手法

• 幾何的解析を用いて、リッチ曲率と注ぎ込み半径の局所的境界から、曲率作用素の均一な局所的境界を導出する。
• 最大原理の技法を用いて、リッチフローの進化における曲率量を制御する。
• 事前推定を用いて、スカラー曲率の微分の項で表されるリッチ曲率およびその微分の上限を求める。
• リッチフロー方程式および曲率の進化の構造を活用し、曲率作用素の境界に依存しない推定式を導出する。
• 注ぎ込み半径の制御を組み込むことで、曲率作用素の境界がなければ、曲率推定を安定化させる。
• リッチ曲率の微分とスカラー曲率の微分との関係を用いて、リッチ曲率のシ型推定式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチフローにおいて、曲率作用素の均一な局所的境界は、リッチ曲率と注ぎ込み半径の局所的境界のみから導けるか？
• RQ2 曲率作用素の境界を仮定しない場合、リッチフローおよびソリトンのどのようなコンパクト性定理が確立できるか？
• RQ3 注ぎ込み半径が有界でない場合、リッチ曲率およびその微分はどのように推定できるか？
• RQ4 スカラー曲率の微分のみが制御されている場合、リッチ曲率のシ型推定式が成り立つ条件は何か？

主な発見

• n次元リッチフローにおいて、リッチ曲率と注ぎ込み半径の局所的境界のみから、曲率作用素の均一な局所的境界が得られる。
• 曲率作用素の境界を仮定しない、リッチフローおよびリッチソリトンの新しいコンパクト性定理が確立される。
• リッチ曲率の微分がスカラー曲率の微分によって制御される場合、リッチ曲率のシ型推定式が導出される。
• 注ぎ込み半径が不明または有界でない場合でも、解析は有効であり、より広範な幾何的設定への適用性が拡張される。
• 結果は、リッチ曲率と注ぎ込み半径の制御のもとで、リッチフローにおけるコンパクト性および微分推定式のためには、曲率作用素の境界が必ずしも必要でないことを示している。