[論文レビュー] Compactness estimates for Hamilton-Jacobi equations depending on space

Fabio Ancona, Piermarco Cannarsa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

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ひとこと要約

本稿は、凸で空間に依存するハミルトニアン・ジャコビ方程式の解の半群に関して、$\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ におけるコルモゴロフ $\varepsilon$-エントロピーについて、$1/\varepsilon^N$ のオーダーの鋭い上界と下界を確立する。可視化解理論、半concave推定、および小時間の可制御性結果を用いて、フローフローのコンパクト化効果を定量化し、ラクスが示唆したように、エントロピーと数値的解像度の複雑さを結びつける。

ABSTRACT

We study quantitative estimates of compactness in $\mathbf{W}^{1,1}_{loc}$ for the map $S_t$, $t>0$ that associates to every given initial data $u_0\in \mathrm{Lip}(\mathbb{R}^N)$ the corresponding solution $S_t u_0$ of a Hamilton-Jacobi equation $$ u_t+H\big(x, abla_{\!x} u\big)=0\,, \qquad t\geq 0,\quad x\in \mathbb{R}^N, $$ with a convex and coercive Hamiltonian $H=H(x,p)$. We provide upper and lower bounds of order $1/\varepsilon^N$ on the the Kolmogorov $\varepsilon$-entropy in $\mathbf{W}^{1,1}$ of the image through the map $S_t$ of sets of bounded, compactly supported initial data. Quantitative estimates of compactness, as suggested by P.D. Lax, could provide a measure of the order of "resolution" and of "complexity" of a numerical method implemented for this equation. We establish these estimates deriving accurate a-priori bounds on the Lipschitz, semiconcavity and semiconvexity constant of a viscosity solution when the initial data is semiconvex. The derivation of a small time controllability result is also fundamental to establish the lower bounds on the $\varepsilon$-entropy.

研究の動機と目的

• 空間に依存するハミルトニアン・ジャコビ方程式の可視化解半群 $S_t$ が $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 位相で示すコンパクト化効果を定量化すること。
• 従来、勾配に依存するハミルトニアンに限られていた $\varepsilon$-エントロピー推定を、$H = H(x,p)$ が空間に明示的に依存する一般の場合に拡張すること。
• 有界で-compactly 支持を持つ初期データの $S_t$ による像のコルモゴロフ $\varepsilon$-エントロピーに対して、$1/\varepsilon^N$ のオーダーの鋭い境界を提供すること。
• P.D. ラクスが示唆したように、解集合のエントロピーとハミルトニアン・ジャコビフローの正則化および不可逆性の性質を結びつけること。
• エントロピー推定と、特に $\mathbf{L}^1$-安定スキームにおけるこれらの方程式の数値的解法の複雑さとの間の関係を確立すること。

提案手法

• 初期データが半凸であるとき、可視化解のリプシッツ定数、半concave定数、半凸定数に対する事前推定を導出すること。
• 最適制御における値関数としての解の表現を用い、Legendre変換 $L(x,q) = \sup_p \{p\cdot q - H(x,p)\}$ を活用すること。
• Hellyのコンパクトネス定理とBV関数のPoincaré不等式を用いて、$\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ における $S_t(\mathcal{L})$ の相対的コンパクト性を確立すること。
• 小時間可制御性結果を構築し、解集合へ半concave関数の大きな族を埋め込むことで、$\varepsilon$-エントロピーの下界を証明すること。
• $\mathbf{W}^{1,1}([-r,r]^N)$ における被覆数を用いて、平行移動された解集合 $S_t(\mathcal{L}) - S_t 0$ の $\varepsilon$-エントロピーを推定し、サポートと正則性構造を活用すること。
• 幾何学的・測度論的定数を明示的に導出することで、$[-r,r]^N$ 上で半concaveで、外部では $S_T 0$ に等しい関数族 $\widetilde{\mathcal{SC}}^{S_T 0,1}_{[r,2m,2K]}$ のエントロピーを介して下界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間に依存するハミルトニアン・ジャコビ方程式について、$\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ における解集合 $S_t(\mathcal{L})$ のコルモゴロフ $\varepsilon$-エントロピーの正確なオーダーは何か？
• RQ2 半群 $S_t$ のコンパクト化効果は、初期データのサポートとリプシッツ定数にどのように依存するか？
• RQ3 可視化解に対して、小時間可制御性を用いた $\varepsilon$-エントロピーの鋭い下界を確立できるか？
• RQ4 解の半concave構造が解集合のエントロピーに及ぼす影響はどの程度か？
• RQ5 エントロピー推定は、ハミルトニアン・ジャコビ方程式の $\mathbf{L}^1$-安定スキームの解像度の複雑さを定量化するために用いることができるか？

主な発見

• 解集合 $S_t(\mathcal{L}_{[R,M]}) - S_t 0$ の $\mathbf{W}^{1,1}([-r,r]^N)$ におけるコルモゴロフ $\varepsilon$-エントロピーは、下界 $\gamma^{-}_{[r,K,N]} \cdot \frac{1}{\varepsilon^N}$ で抑えられ、ここで $\gamma^{-}_{[r,K,N]} = \frac{1}{8 \ln 2} \left( \frac{K \omega_N r^{N+1}}{48(N+1) 2^{N+1}} \right)^N$ である。
• 下界は、$T \leq \tau_{R,M}$ の小時間において、解集合へ関数族 $\widetilde{\mathcal{SC}}^{S_T 0,1}_{[r,2m,2K]}$ を埋め込むことで達成され、エントロピーが $1/\varepsilon^N$ のオーダーで増加することを証明する。
• 正則性と半群のコンパクトネスに基づき、上界も $1/\varepsilon^N$ のオーダーで確立され、エントロピーが $\Theta(1/\varepsilon^N)$ のオーダーでスケーリングすることを確認する。
• 解写像 $S_t$ は強い正則化効果を示す：有界で-compactly 支持を持つ初期データ（$\mbox{Lip}(\mathbb{R}^N)$ 内）に対しても、局所的半concave性のおかげで、$\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ で前コンパクトな像をもつ。
• 小時間可制御性結果は下界の確立に不可欠であり、$T$ が小さいとき、解集合が制御された半concave性とサポートを持つ関数の大きな族を含むことを示している。
• エントロピー推定は、ハミルトニアン・ジャコビ方程式の数値的解法の複雑さを定量的に測る手がかりを提供し、ラクスが提唱した $\mathbf{L}^1$-安定性と誤差推定を支持する。