[論文レビュー] Compactness for the d-bar - Neumann problem - a functional analysis approach

Friedrich Haslinger|ArXiv.org|Dec 22, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^n$ 上の重み付き $L^2$-空間における $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を、$L^2$-空間内での相対コンパクト性基準を用いて関数解析的アプローチで確立する。性質 (P) が滑らかに有界な擬凸領域における $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を示すことを証明し、埋め込みのコンパクト性と Kohn-Morrey 公式を用いた新たな証明を提供する。

ABSTRACT

We discuss compactness of the d-bar-Neumann operator in the setting of weighted L^2-spaces on C^n.$ For this purpose we use a description of relatively compact subsets of L^2- spaces. We also point out how to use this method to show that property (P) implies compactness for the d-bar-Neumann operator on a smoothly bounded pseudoconvex domain and mention an abstract functional analysis characterization of compactness of the d-bar-Neumann operator.

研究の動機と目的

• 重み付き $L^2$-空間上の $\mathbb{C}^n$ 上の $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性に関する関数解析的特徴付けを提供すること。
• 滑らかに有界な擬凸領域における性質 (P) が $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を示すという新たな証明を確立すること。
• $L^2_{(0,1)}(\Omega)$ 内のグラフノルムにおける単位球の相対コンパクト性を用いた $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性の特徴付けを行うこと。

提案手法

• 一様連続性（平行移動不変性）および境界における一様減衰性に基づく $L^2$-空間内での相対コンパクト性基準を用いる。
• 重み付き測度下での $\bar\partial$ および $\bar\partial^*$-ノルムとの関係を確立するために、Kohn-Morrey 公式を適用する。
• 重み付き複素ヘッセ行列 $\sum_{j,k} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z_j \partial \overline{z}_k} u_j \overline{u}_k$ を用いて、性質 (P) の下で $\bar\partial^*_\varphi$-ノルムを制御する。
• グラフノルムを伴う $\text{dom}(\bar\partial) \cap \text{dom}(\bar\partial^*_\varphi)$ から $L^2_{(0,1)}(\Omega)$ への埋め込みのコンパクト性に $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を還元する。
• 双対性および随伴作用素を用いて、$N = j \circ j^*$ の同値性を活用し、$N$ のコンパクト性を埋め込み $j$ のコンパクト性に結びつける。
• 性質 (P) が性質 (\tilde{P}) を含意することに依拠し、複素ヘッセ行列による $\bar\partial^*_\varphi$-随伴の下位項の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかに有界な擬凸領域における $\mathbb{C}^n$ 上の性質 (P) は、$\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を示すか？
• RQ2 $L^2_{(0,1)}(\Omega)$ 内のグラフノルムにおける単位球の相対コンパクト性を用いて、$\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を特徴付けられるか？
• RQ3 特に、複素ラプラシアンの定義域の埋め込みに関して、どのような関数解析的条件が $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を保証するか？

主な発見

• 性質 (P) は、グラフノルムを伴う $\text{dom}(\bar\partial) \cap \text{dom}(\bar\partial^*_\varphi)$ 内の単位球が $L^2_{(0,1)}(\Omega)$ 内で相対コンパクトであることを示し、これにより $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性が保証される。
• $\bar\partial$-Neumann作用素 $N_\varphi$ がコンパクトであるための必要十分条件は、グラフノルムにおける単位球が $\Omega^c$ のコンパクト部分集合上で一様 $L^2$-減衰性を満たすこと、すなわち、すべての $f$ に対して $\|f\|_{L^2(\Omega \setminus \omega)} < \epsilon$ が成り立つような $\omega \subset\subset \Omega$ が存在することである。
• グラフノルム位相の下で、埋め込み $j: \text{dom}(\bar\partial) \cap \text{dom}(\bar\partial^*_\varphi) \to L^2_{(0,1)}(\Omega)$ がコンパクトであることと、$\bar\partial$-Neumann作用素 $N_\varphi$ がコンパクトであることとは同値である。
• Kohn-Morrey 公式により、複素ヘッセ行列による $L^2$-ノルムの下界が得られ、性質 (P) の下で一様強制性が得られ、結果としてコンパクト性が導かれる。
• この手法により、性質 (P) の下で $\bar\partial^*_\varphi$-項が複素ヘッセ行列によって制御可能であることが示され、$L^2$ 内の標準的相対コンパクト性基準の適用が可能になる。
• 本稿は、平行移動不変性および $L^2$-ノルムの減衰条件を用いて、Catlin の結果（性質 (P) が $\bar\partial$-Neumann作用素のコンパクト性を示す）に対する新たな関数解析的証明を確立する。