[論文レビュー] Compactness in Adapted Weak Topologies

Manu Eder|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、相対的にコンパクトな集合の特徴付けを、適応的弱位相（別名、ヘルウィグの情報位相）において行い、これは確率過程の時間的・因果的構造を捉えるために弱位相を強化したものである。アーベル・アスcoliとプロホロフの定理の要素を組み合わせることで、適応的弱位相におけるtightness（一様有界性）を保証する連続性モジュラス条件を導入し、標準的なプロホロフ型結果が失敗する状況においても、非度量的・位相的基準によるコンパクト性の特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Over the years a number of topologies for the set of laws of stochastic processes have been proposed. Building on the weak topology they all aim to capture more accurately the temporal structure of the processes. In a parallel paper we show that all of these topologies (i.e. the information topology of Hellwig, the nested distance topology of Pflug-Pichler, the extended weak convergence of Aldous and a topology built from Lasalle's notion of a causal transference plan) are equal in finite discrete time. Regrettably, the simple characterization of compactness given by Prokhorov's theorem for the weak topology fails to be true in this finer topology. This phenomenon is closely related to the failure of a natural metric for this topology to be complete. For certain problems, a 'fix' consists in passing to the metric completion. Still, it also seems interesting to find out what compact sets look like in the uncompleted space. Here we give a characterization of compact sets in this adapted weak topology which is strongly reminiscent of the Arzelà-Ascoli theorem (with a dash of Prokhorov's theorem). The tools developed are also useful elsewhere. We give a different proof of the continuity of the conditionally independent gluing map of two measures with one marginal in common and in our companion paper the ideas developed here form the main non-algebraic ingredient in showing that the information topology introduced by Hellwig is equal to the nested weak topology of Pflug-Pichler.

研究の動機と目的

• 確率過程の因果的・時間的構造を尊重するように精錬された弱位相における相対的コンパクト集合の特徴付けを行う。
• 度量的完備性の欠如のため、通常の意味でtightな列であっても収束に失敗する可能性がある、このより細かい位相におけるプロホロフの定理の失敗を扱う。
• 度量的完備性に依存しない、位相的基準によるコンパクト性の特徴付けを提供し、度量的完備化の前段階である元の空間に直接適用可能である。
• 条件付き独立な測度の貼り合わせ操作の連続性を示すための道具を確立する。
• 同伴の研究で示されたように、複数の位相（例えば、ヘルウィグの、プフルーク・ピクリの、アルドゥスの）の同値性を支援する。

提案手法

• 積空間上の連続確率測度に対して、過去の摂動に対する条件付き分布の感度を定量化する連続性モジュラスを導入する。
• 連続性モジュラス ωμ(δ) を、すべての δ-摂動における条件付き分布の距離の上界として定義する。
• ワッサーシュタイン p-距離を用いて、測度のカップリング間の距離を制御し、条件付き分布の安定性を保証する。
• 複数の時間段階に跨る測度の間で、度量的および位相的性質を保つカップリングを構成するための貼り合わせ操作 ⊗̇ を適用する。
• 分解およびカップリング技術を用いて、結合分布の摂動に伴う条件付き分布の挙動を分析する。
• 連続性モジュラスおよびワッサーシュタイン距離に基づく δ-ε 論法を用いて、貼り合わせ写像の連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度量的完備性の欠如のため、通常の意味でtightであっても収束に失敗する可能性がある適応的弱位相において、相対的コンパクト集合はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 因果的構造を尊重する位相において、確率過程の法則族のtightnessをどのように保証できるか？
• RQ3 適応過程の文脈において、アーベル・アスcoliおよびプロホロフの定理の特徴を統合した、位相的基準によるコンパクト性の特徴付けは可能か？
• RQ4 連続性モジュラスは、摂動に伴う条件付き分布の安定性をどのように制御するか？
• RQ5 条件付き独立な測度の貼り合わせ写像の連続性は、適応的弱位相の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 有限時域の積空間上の確率測度族は、適応的弱位相において相対的コンパクトであるための必要十分条件として、条件付き分布族の連続性モジュラスが一様に小さいことである。
• 連続性モジュラス条件により、過去の小さな摂動が将来の条件付き分布に小さな変化をもたらすことが保証され、これがコンパクト性に不可欠である。
• 貼り合わせ写像 (μ, ν) ↦ μ ⊗̇ ν は、周辺測度 μ を固定した上で ν を変化させるとき、適応的弱位相において連続である。
• 連続性の証明は、ワッサーシュタイン距離およびカップリング技術を用いて、条件付き分布間の距離を制御する δ-ε 論法に依存する。
• 開発された道具は、有限離散時間におけるヘルウィグの情報位相とネストド距離位相の同値性を示すために、重要な非代数的要素を提供する。
• 度量的完備性に依存しないため、完備化の前段階である元の空間に直接適用可能である。