[論文レビュー] Compactness of Embeddings

А. Г. Рамм|ArXiv.org|Nov 14, 2005

Rings, Modules, and Algebras被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、三つのネストされたバナッハ空間間の埋込み作用素のコンパクト性に関する必要十分条件を精緻化し、$ i:X_1 \to X_2 $ のコンパクト性が、$ j:X_1 \to X_3 $ のコンパクト性と、すべての $ s \in (0,1) $ に対して成り立つ特定の補間型不等式 $ \|u\|_2 \leq s\|u\|_1 + c(s)\|u\|_3 $ が成り立つことと同値であることを証明する。$ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性に関する仮定なしに、この不等式が成り立つという広く引用されている主張を否定する反例が構成されている。

ABSTRACT

An improvement of the author's result, proved in 1961, concerning necessary and sufficient conditions for the compactness of embedding operators is given. A counterexample to a published statement concerning compactness of embedding operators is constructed.

研究の動機と目的

• 1961年の著者の結果を一般化し、$ X_2 $ がヒルバート空間でなければならないという制限を除去すること。
• $ j:X_1 \to X_3 $ のコンパクト性とパラメータ化されたノルム不等式を用いて、$ i:X_1 \to X_2 $ のコンパクト性の鋭い基準を確立すること。
• $ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性が、ノルム不等式条件の必要性に不可欠であることを示すこと。
• 文献で広く引用されている主張（リオンズの補題）が、$ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性がなくても成り立つという主張を、反例によって否定すること。

提案手法

• 十分性の証明：$ j:X_1 \to X_3 $ のコンパクト性と補間不等式 $ \|u\|_2 \leq s\|u\|_1 + c(s)\|u\|_3 $ を仮定し、$ X_1 $ の任意の有界列が $ X_2 $ で収束部分列を持つことを示す。
• 必要性の証明：$ i:X_1 \to X_2 $ がコンパクトであると仮定し、ノルム不等式が成り立たない場合に矛盾を導く。具体的には、$ \|u_n\|_2 \geq s_0 + n\|u_n\|_3 $ を満たす列の存在を用いる。
• $ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性条件を用いて、$ X_3 $ での収束が $ X_2 $ での収束を保証する。これは矛盾の導出に不可欠である。
• 一様にゼロだが点で非ゼロとなる関数からなる一様次元空間 $ X_1 $ を用いた反例を構成する。$ X_2 $ のノルムに点評価を含める。
• $ X_3 = L^2(0,1) $、$ X_2 = L^2(0,1) + \text{点評価} $、$ X_1 $ を $ L^2 $-ノルムがゼロだが点値が非ゼロである関数の張る空間として定義する。
• 反例において、$ \|u\|_3 = 0 $ かつ $ \|u\|_2 > 0 $ であるため、$ \|u\|_2 \leq \epsilon\|u\|_1 + K(\epsilon)\|u\|_3 $ という不等式が $ \epsilon < 1 $ のとき成立しない。これは $ |\lambda| \leq \epsilon|\lambda| $ に帰着され、$ \lambda \neq 0 $ では成り立たない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三つのネストされたバナッハ空間 $ X_1 \subset X_2 \subset X_3 $ で、ノルムが比較可能であるとき、埋込み作用素 $ i:X_1 \to X_2 $ がコンパクトであるための条件は何か？
• RQ2 ノルム不等式 $ \|u\|_2 \leq s\|u\|_1 + c(s)\|u\|_3 $ は、$ i:X_1 \to X_2 $ のコンパクト性に必要であり、かつ $ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性がなくても成り立つか？
• RQ3 [1] の p.35 で述べられている主張（リオンズの補題）—任意のコンパクト埋込みに対してこの不等式が成り立つ—は、ノルムの整合性がなければ成立するのか？
• RQ4 $ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性が、ノルム不等式条件の必要性の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 ノルムの整合性が欠落している場合、コンパクト性の基準に用いられる標準的な補間型不等式は無効になるのか？

主な発見

• $ i:X_1 \to X_2 $ がコンパクトであることと、$ j:X_1 \to X_3 $ がコンパクトであることと、すべての $ s \in (0,1) $ に対して $ \|u\|_2 \leq s\|u\|_1 + c(s)\|u\|_3 $ が成り立つこと（$ c(s) > 0 $）は同値である。
• 十分性の証明には $ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性は不要であるが、必要性の証明には必要である。
• 反例として、$ X_1 $ が一様次元、$ X_3 = L^2(0,1) $、$ X_2 $ に点評価を含む空間を構成した。この場合、非ゼロの $ u \in X_1 $ に対して $ \|u\|_3 = 0 $、$ \|u\|_2 = 1 $ である。
• この反例において、$ i:X_1 \to X_2 $ はコンパクトである。なぜなら $ X_1 $ が有限次元だからであり、[1] の補題のすべての仮定を満たしている。
• しかし、$ \epsilon < 1 $ のとき、不等式 $ \|u\|_2 \leq \epsilon\|u\|_1 + K(\epsilon)\|u\|_3 $ は成立しない。なぜなら、$ |\lambda| \leq \epsilon|\lambda| $ に帰着され、$ \lambda \neq 0 $ では成り立たないからである。
• ゆえに、[1] の p.35 の主張は、$ X_2 $ と $ X_3 $ のノルムの整合性の仮定なしには誤りであり、反例により明確に示された。