[論文レビュー] Compactness of higher-order Sobolev embeddings

Lenka Slavíková|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Numerical methods in engineering被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、確率測度 ν を備えた領域 Ω ⊆ ℝⁿ 上の高階ソボレフ空間 V^mX(Ω, ν) が再配置不変空間 Y(Ω, ν) にコンパクト埋め込みされるための鋭い基準を確立する。コンパクト性は、領域の等周関数 I_{Ω,ν} を用いて定義される一変数積分作用素 H^m_I のコンパクト性によって特徴づけられる。主な結果は、この作用素が X(0,1) から Y(0,1) へコンパクトに作用する場合に限り、コンパクト性が成り立つことである。ロー・ローレンツ空間およびオルリッチ空間のジョン領域やガウス型空間において、明示的な条件が導出されている。

ABSTRACT

We study higher-order compact Sobolev embeddings on a domain $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ endowed with a probability measure $ u$ and satisfying certain isoperimetric inequality. Given $m\in \mathbb N$, we present a condition on a pair of rearrangement-invariant spaces $X(\Omega, u)$ and $Y(\Omega, u)$ which suffices to guarantee a compact embedding of the Sobolev space $V^mX(\Omega, u)$ into $Y(\Omega, u)$. The condition is given in terms of compactness of certain one-dimensional operator depending on the isoperimetric function of $(\Omega, u)$. We then apply this result to the characterization of higher-order compact Sobolev embeddings on concrete measure spaces, including John domains, Maz'ya classes of Euclidean domains and product probability spaces, whose standard example is the Gauss space.

研究の動機と目的

• 高階ソボレフ空間 V^mX(Ω, ν) が再配置不変空間 Y(Ω, ν) にコンパクト埋め込みされるための一般基準を確立すること。
• このような埋め込みのコンパクト性を、確率測度 ν を備えた領域 Ω の等周的性質に関連付けること。
• ジョン領域や積分確率空間（例：ガウス空間）を含む具体的な幾何的状況において、コンパクト埋め込みの鋭い明示的条件を提供すること。
• 連続埋め込みに関する既存の結果を、関連する一変数積分作用素 H^m_I を分析することによって、コンパクトの場合に拡張すること。
• 単位区間上で定義された特定の積分作用素の有界性およびコンパクト性を用いて、埋め込みのコンパクト性を特徴づけること。

提案手法

• 領域 Ω が測度 ν に関して持つ幾何的および測度的性質を符号化するための等周関数 I_{Ω,ν} の使用。
• 再配置関数が (0,1) 上で作用する一変数積分作用素 H^m_I の定義： $$ H^m_I f(t) = \frac{1}{(m-1)!} \int_t^1 \frac{|f(s)|}{I(s)} \left( \int_t^s \frac{dr}{I(r)} \right)^{m-1} ds, \quad t \in (0,1), $$ これはソボレフ埋め込みの作用をモデル化する。
• m 階ソボレフ埋め込みのコンパクト性を、X(0,1) から Y(0,1) への作用素 H^m_I のコンパクト性に還元すること。
• ロー・ローレンツ空間およびオルリッチ空間に関する既知の理論を応用し、空間 X および Y の表現ノルムを用いてそれらを特徴づけること。
• 双対性および外挿技法（特に (L^p_{q_1;\alpha_1})^* と関数 Φ を用いた一般化ローレンツ空間の定義）の使用。
• ロー・ローレンツ空間およびオルリッチ空間における積分作用素の有界性およびコンパクト性に関する既知の結果を活用し、コンパクト埋め込みの鋭い条件を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再配置不変空間 X および Y に対して、埋め込み V^mX(Ω, ν) \hookrightarrow Y(Ω, ν) がコンパクトとなる条件は何か？
• RQ2 領域の等周関数 I_{Ω,ν} を用いて、高階ソボレフ埋め込みのコンパクト性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ジョン領域やガウス空間などの具体的な幾何的状況におけるコンパクト埋め込みの鋭い条件は何か？
• RQ4 等周関数 I_{Ω,ν} が 0 に近い部分での振る舞いが、埋め込みのコンパクト性にどのように影響するか？
• RQ5 埋め込みのコンパクト性は、一変数積分作用素 H^m_I のコンパクト性に還元可能か？

主な発見

• 埋め込み V^mX(Ω, ν) \hookrightarrow Y(Ω, ν) がコンパクトであるための必要十分条件は、I が I_{Ω,ν} の 0 近傍における下界であるとき、作用素 H^m_I が X(0,1) から Y(0,1) へコンパクトに作用することである。
• ロー・ローレンツ空間 L^{p_1,q_1}(0,1) および L^{p_2,q_2}(0,1) に対して、埋め込みがコンパクトであるための必要十分条件は、p_1 < \frac{1}{m(1 - \alpha)} のとき p_2 < \frac{p_1}{1 - m p_1 (1 - \alpha)} であり、p_1 = \frac{1}{m(1 - \alpha)} のとき p_2 < \infty である。
• α = 1 の場合、作用素 H^m_s: L^{p_1,q_1}(0,1) \to L^{p_2,q_2}(0,1) がコンパクトであるための必要十分条件は p_2 < p_1 である。
• ガウス空間および Φ(t) = \frac{1}{\beta} t^\beta を用いて定義されるオルリッチ空間に対して、埋め込みがコンパクトであるための必要十分条件は、p < \infty のとき q < p であり、p = \infty のとき q < \infty である。
• lim_{s \to \infty} \frac{s}{\Phi(s)} = 0 のとき、作用素 H^m_\Phi: L^p(0,1) \to L^q(0,1) がコンパクトであるための必要十分条件は q < p である。
• ジョン領域やガウス空間などの標準的な領域において、再配置不変空間のクラスにおいて結果は鋭いものであり、埋め込み条件が H^m_I のコンパクト性と同値であることが確認されている。