[論文レビュー] Compactness of minimal hypersurfaces with bounded index

Ben Sharp|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n+1 $ の閉リーマン多様体 ($ 2 \leq n \leq 6 $) における閉かつ埋め込まれた最小超曲面について、体積およびモース指数に一様な上限がある場合に、コンパクト性定理を確立する。安定超曲面の技法を指数が有界な場合に拡張することで、このような列が滑らかに収束すること（おそらく有限個の点を除く）を示し、チョン＝ショーエンの genus に基づくコンパクト性を、指数制御を用いて高次元に一般化する。

ABSTRACT

We prove a compactness result for minimal hypersurfaces with bounded index and volume, which can be thought of as an extension of the compactness theorem of Choi-Schoen (Invent. Math. 1985) to higher dimensions.

研究の動機と目的

• チョン＝ショーエンの genus に基づく結果を超えて、高次元における最小超曲面のコンパクト性理論を拡張すること。
• 体積およびモース指数に一様な上限がある場合に、最小超曲面の滑らかなコンパクト性定理を確立すること。
• 高次元における位相的制御の失敗を、 genus の代わりに指数を用いることで補うこと。
• ショーエン＝シモンの安定超曲面理論を、インデックスがゼロでない有界インデックスの場合に一般化すること。
• 変動測度および滑らかなグラフィカル位相における収束を証明し、特異点集合のサイズを制御すること。

提案手法

• 安定超曲面に対するシューエン＝シモンの正則性およびコンパクト性技法を、有界インデックスの場合に適応する。
• テスト関数 $ \phi $ およびカットオフ関数 $ \eta_i $ を用いた重み付き $ L^2 $-推定を用い、ジャコビ作用素および法接続を統合する。
• カットオフ関数の勾配の $ L^2 $-ノルムを制御するための単調性公式を適用し、カットオフスケールが小さくなるにつれて減衰を保証する。
• ブロー・アップの議論および法座標を用いて、潜在的特異点付近の局所的構造を分析する。
• 二分岐議論を採用：収束は単一シート（至る所滑らか）または多重シートであり、特異点集合のサイズはインデックスによって制御される。
• インデックスの上限が、極限における特異点の数の制御を意味することを用いる。$ K \leq I $ ここで $ I $ はインデックスの上限。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積およびモース指数の上限を用いて、高次元における最小超曲面のコンパクト性定理を、面積や genus の上限ではなく、指数の上限に基づいて確立できるか？
• RQ2 体積およびモース指数に一様な上限がある場合、最小超曲面の列が、有限個の特異点を除いて滑らかに収束するか？
• RQ3 シューエン＝シモンの安定超曲面に対する手法を、インデックスが有界な非安定の場合に拡張できるか？
• RQ4 指数が有界な最小超曲面の列の極限における特異点の最大数は何か？
• RQ5 極限が片側的か二面的かによって、収束の挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 体積およびインデックスに一様な上限がある閉かつ埋め込まれた最小超曲面の列は、変動測度位相において、体積およびインデックスが有界な極限最小超曲面に収束する。
• 極限超曲面は、集合 $ \mathcal{Y} $ の有限個の点を除いて滑らかであり、$ \#\mathcal{Y} \leq I $ が成り立つ。ここで $ I $ は一様なインデックス上限。
• 収束は $ \mathcal{Y} $ を除いて滑らかでグラフィカルであり、シート数が1の場合は $ \mathcal{Y} = \emptyset $ であるため、完全に滑らかな収束が成り立つ。
• 極限が二面的である場合、安定でなければならないため、インデックスはゼロでなければならない。これは、インデックス制御下での極限挙動を制限する。
• 正のリッチ曲率の下では、極限は片側的にはなり得ず、収束は単一シートであり、至る所滑らかである。
• 環境計量の滑らかな収束のもとで、体積およびインデックスに一様な制御がある限り、結果は成り立つ。