[論文レビュー] Compactness properties of Ricci flows with bounded scalar curvature

Richard H. Bamler|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界スカラー曲率およびエントロピーを伴うリッチフローに対してコンパクト性定理を確立し、このようなフローの任意の列が、余次元4以上の集合を除いて滑らかな極限計量空間に収束することを示している。この結果により、このようなフローにおける特異点の余次元が ≥4 であることが証明され、リーマン的設定におけるハミルトン＝ティアン予想の一般形が裏付けられる。曲率の有界性、グロモフ＝ハウスドルフ収束、および $\varepsilon$-正則性定理を用いる。

ABSTRACT

In this paper we prove a compactness result for Ricci flows with bounded scalar curvature and entropy. It states that given any sequence of such Ricci flows, we can pass to a subsequence that converges to a metric space which is smooth away from a set of codimension $\geq 4$. The result has two main consequences: First, it implies that singularities in Ricci flows with bounded scalar curvature have codimension $\geq 4$ and, second, it establishes a general form of the Hamilton-Tian Conjecture, which is even true in the Riemannian case. In the course of the proof, we will also establish the following results: $L^{p < 4}$ curvature bounds, integral bounds on the curvature radius, Gromov-Hausdorff closeness of time-slices, an $\varepsilon$-regularity theorem for Ricci flows and an improved backwards pseudolocality theorem.

研究の動機と目的

• 有界スカラー曲率およびエントロピーの下でリッチフローのコンパクト性結果を確立すること。
• 有界スカラー曲率を伴うリッチフローにおける特異点の構造を分析すること。
• リーマンの場合におけるハミルトン＝ティアン予想の一般化された版を証明すること。
• リッチフローにおける積分的曲率有界性および正則性推定を導出すること。
• 時刻スライスのグロモフ＝ハウスドルフ近さおよび改善された擬局所性を確立すること。

提案手法

• 局所的曲率挙動を制御するために $\varepsilon$-正則性定理を適用すること。
• リーマン曲率テンソルに対する $L^{p<4}$ 有界性を確立すること。
• エネルギー推定を用いて曲率半径に対する積分的有界性を導出すること。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束を用いてフローの時刻スライスを比較すること。
• 時空領域における曲率を制御するための改善された逆方向擬局所性定理を証明すること。
• リッチフローの部分列の極限を分析し、特異点集合の余次元を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界スカラー曲率を伴うリッチフローにおける特異点の最小余次元は何か？
• RQ2 ハミルトン＝ティアン予想は、有界スカラー曲率の下でリーマン的設定に拡張可能か？
• RQ3 有界スカラー曲率を伴うリッチフローに対して成り立つ積分的曲率有界性は何か？
• RQ4 このようなフローの時刻スライスは、グロモフ＝ハウスドルフの意味でどの程度近いか？
• RQ5 $\varepsilon$-正則性定理は、曲率の集中を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 有界スカラー曲率およびエントロピーを伴うリッチフローの任意の列の極限は、余次元が4以上の集合を除いて滑らかな計量空間である。
• 有界スカラー曲率を伴うリッチフローにおける特異点の余次元は、少なくとも4以上である。
• 有界スカラー曲率の下で、リーマン的設定における一般化されたハミルトン＝ティアン予想は成立する。
• 曲率半径は $p<4$ の $L^p$ で積分的有界性を満たす。
• 有界スカラー曲率の下で、フローの時刻スライスはグロモフ＝ハウスドルフ的に近い。
• 改善された逆方向擬局所性定理が確立され、時空領域における曲率のより強い制御が可能になる。