[論文レビュー] Compactness results for H-holomorphic maps

Jens von Bergmann|ArXiv.org|Apr 9, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、安定ハミルトニアン構造を持つ多様体へのH-正則写像のコンパクト性を、周期が有界な列が首輪-ノード写像に収束することを証明することで確立する—ここでノード成分は、閉じた特徴的軌道上のねじれ付きシリンダーまたは有限長のフロー線に収束する有限シリンダーで接続される。主な貢献は、接触およびシンプレクティックトポロジーへの応用に不可欠な、モジュライ空間の自然なコンパクト化の構成である。

ABSTRACT

H-holomorphic maps are a parameter version of J-holomorphic maps into contact manifolds. They have arisen in efforts to prove the existence of higher--genus holomorphic open book decompositions and efforts to prove the existence of finite energy foliations and the Weinstein conjecture, as well as in folded holomorphic maps. For all these applications it is essential to understand the compactness properties of the space of H-holomorphic maps. We prove that the space of H-holomorphic maps with bounded periods into a manifold with stable Hamiltonian structure possesses a natural compactification. Limits of smooth maps are "neck-nodal maps", i.e. their domains can be pictured as nodal domains where the node is replaced by a finite cylinder that converges to a twisted cylinder over a closed characteristic or a finite length characteristic flow line. We show by examples that compactness fails without the condition on the periods, and we give topological conditions that ensure compactness.

研究の動機と目的

• 負または低インデックスをもつJ-正則曲線のモジュライ空間におけるコンパクト性の欠如を扱い、接触およびシンプレクティックトポロジーにおける応用を妨げる要因を解消する。
• 周期が有界である条件の下で、H-正則写像の空間に対する自然なコンパクト化を提供する。
• H-正則写像の極限が良好に振る舞う条件を確立する。具体的には、ねじれ付きまたは有限長のフロー線に収束するシリンダーネックをもつ首輪-ノード写像である。
• 周期スペクトルに関する必要十分条件を同定することで、コンパクト性のための位相的障害を解消する。
• モジュライ空間のコンパクト性を保証することにより、高 genus フォリエーション、有限エネルギーフォリエーション、およびホロモルフィックオープンブック分解への応用を可能にする。

提案手法

• H-正則写像を、シンプレクティック部分束F上のコーシー＝リーマン方程式と特徴的直線束L上のポisson型方程式を組み合わせた系の解として定義する。
• 写像をシンプレクティゼーションR × Zに引き上げることで、H^{0,1}_Cに属する調和1形式を除いてJ-正則になるようにする。
• 首輪部における調和解析を用いて、形式の漸近的挙動を制御し、フーリエ展開と減衰推定を用いる。
• 固定された周期を持つ閉形式の族の中でL^2ノルムを最小化することで、調和1形式のねじれと中心作用を有界化する。
• Arzelà-Ascoliの定理と楕円型正則性を用いて、崩壊するリーマン面の「厚み」部および首輪部で収束する部分列を抽出する。
• ホッジの定理を適用し、すべてのホモロジー周期が0で非自明な極限形式が、そのノルムが0から離れている限り、矛盾を引き起こすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H-正則写像のモジュライ空間が周期が有界である条件下で自然なコンパクト化をもつための条件は何か？
• RQ2 周期が有界なH-正則写像の列の極限の構造は何か？
• RQ3 周期の有界性がなければコンパクト性が失われる理由は何か？また、どのような位相的条件がそれを回復させるか？
• RQ4 崩壊するリーマン面における調和1形式、特にシリンダーネック部における漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 ノード極限全体、特に首輪部を含めて、H-正則写像の収束を一様に制御できるか？

主な発見

• 安定ハミルトニアン構造を持つ多様体への周期が有界なH-正則写像の空間は、自然なコンパクト化をもつ。
• 滑らかなH-正則写像の極限は首輪-ノード写像であり、ノード部分が閉じた特徴的軌道上のねじれ付きシリンダー、または有限長の特徴的フロー線に収束する有限シリンダーで置き換えられる。
• 周期の有界性がなければコンパクト性は失敗し、本稿で明示的な反例によって示されている。
• 首輪シリンダー上での調和1形式のねじれと中心作用は、周期スペクトルの観点から一様に有界であり、複素構造に依存しない。
• 調和1形式のsupノルムは、周期写像を介して一様な定数によって制御され、リーマン面の複素構造に依存しない。
• 極限において、すべてのホモロジー周期が0である非自明な調和1形式は、恒等的に0でなければならない。もしノルムが0から離れているならば、これは矛盾を引き起こす。