[論文レビュー] Compactness results for the Kähler-Ricci flow

Nataša Šešum|ArXiv.org|Jul 19, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、正の第一チャーン類をもつコンパクトなケーラー多様体上のケーラー・リッチフローについて、コンpaktnネスおよび正則性に関する結果を確立する。モーザー反復を用いた $\epsilon$-正則性補題の証明とペレラマンの擬局所定理を活用することで、リッチ曲率とリーマン曲率テンソルの $L^{k}$-ノルムが一様に有界であるならば、$k \geq 3$ のとき、フローに沿って点ごとのリーマン曲率テンソルのノルムが一様に有界のまま保たれることを示し、無限大における特異性の発生を防ぐ。

ABSTRACT

We consider the Kähler-Ricci flow $\frac{\partial}{\partial t}g_{i\bar{j}} = g_{i\bar{j}} - R_{i\bar{j}}$ on a compact Kähler manifold $M$ with $c_1(M) > 0$, of complex dimension $k$. We prove the $ε$-regularity lemma for the Kähler-Ricci flow, based on Moser's iteration. Assume that the Ricci curvature and $\int_M | em|^k dV_t$ are uniformly bounded along the flow. Using the $ε$-regularity lemma we derive the compactness result for the Kähler-Ricci flow. Under our assumptions, if $k \ge 3$ in addition, using the compactness result we show that $| em| \le C$ holds uniformly along the flow. This means the flow does not develop any singularities at infinity. We use some ideas of Tian from \cite{Ti} to prove the smoothing property in that case.

研究の動機と目的

• 幾何的制約の下でのケーラー・リッチフローに対するコンパクトネス定理の確立。
• リッチ曲率と曲率の $L^k$-ノルムが有界であるとき、リーマン曲率テンソルがフローに沿って一様に有界のまま保たれることの証明。
• これらの条件下で、フローが無限大において特異性を発生させないことの証明。
• 静的なケーラー・アインシュタインコンパクトネスからの滑らかさの性質を、ケーラー・リッチフローの放物型設定へと拡張すること。

提案手法

• モーザー反復技法を用いてケーラー・リッチフローに対する $\epsilon$-正則性補題を証明する。
• リッチ曲率と $\int_M |\mathrm{Rm}|^k\,dV_t$ の一様有界性を用いて、フローソリューションのコンパクトネスを導出する。
• ペレラマンの擬局所定理を適用し、小さな時空領域における曲率増大を制御する。
• 厳密に擬凸なCR多様体上の $\bar{\partial}_b$-作用素に対するコーンの推定を用いて、ケーラー・リッチソリトンへの滑らかな収束を確立する。
• 正規直交基底を用いたホロモーフィックセクションの基底を用いて、有限個の点を除く領域での $C^p$-位相における収束を確立する。
• 背理法を用いる：$|\mathrm{Rm}| \to \infty$ が $t_i \to \infty$ 沿って成り立つと仮定し、擬局所性を用いて一様曲率有界性を導出し、矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー・リッチフローが曲率において一様に有界に保たれ、無限大における特異性を回避するための条件は何か？
• RQ2 $\epsilon$-正則性補題はケーラー・リッチフローに適応可能であり、点ごとの曲率増大を制御できるか？
• RQ3 リッチ曲率とリーマン曲率テンソルの $L^k$-ノルムが一様に有界であるとき、$k \geq 3$ において $|\mathrm{Rm}|$ も一様に有界になるか？
• RQ4 ケーラー・アインシュタインコンパクトネスからの滑らかさの性質を、ケーラー・リッチフローの放物型設定へと拡張できるか？
• RQ5 曲率と径路の有界性の下で、ケーラー・リッチフローの極限の性質は何か？

主な発見

• モーザー反復を用いてケーラー・リッチフローに対する $\epsilon$-正則性補題を確立し、積分的およびリッチ曲率の有界性に基づく局所的曲率制御を可能にする。
• リッチ曲率と $\int_M |\mathrm{Rm}|^k\,dV_t$ が一様有界である限り、$k \geq 3$ のとき、ケーラー・リッチフローは $|\mathrm{Rm}|$ において一様に有界のまま保たれ、無限大における特異性が回避される。
• 曲率ノルムが列に沿って発散する場合、フローは有限個の点を除く領域で $C^p$-位相においてケーラー・リッチソリトンに収束する。
• ペレラマンの擬局所定理を用いて、局所的曲率推定を小さな時間間隔を超えて拡張し、グローバルな一様有界性を保証する。
• 埋め込み技法と $\bar{\partial}_b$-作用素に対するコーンの推定を用いて、極限においてケーラー・リッチソリトンへの滑らかな収束を確立する。
• 背理法により、$|\mathrm{Rm}| \to \infty$ が $t_i \to \infty$ 沿って成り立つと仮定すると、擬局所性を用いて一様曲率有界性が導かれ、$|\mathrm{Rm}| \leq C$ がフローに沿って一様に成り立つことが証明される。