[論文レビュー] Compactness Theorems for Riemannian Manifolds with Boundary and Applications

Kenneth Steven Knox|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、曲率、直径、境界の(n-1)体積に上限がある条件下で、境界をもつ一様に平均曲率が正であるリーマン多様体の弱L^{1,p}および Hölder (C^{\beta}) におけるコンパクト性を確立する。2つの安定性定理を導出する：1つ目は、リッチ曲率が0に近く、境界が正の曲率をもつS^2にGromov-Hausdorff距離で近い3次元多様体は、Weyl埋め込みによって境界づけられるR^3内の領域にC^{\beta}近傍にあること；もう1つは、リッチ曲率が0、±2に近く、平均曲率が2、2√2、0に近い3次元多様体は、境界が位相的球面であれば、それぞれ曲率0、-1、1の空間形の測地的球にC^{\beta}近傍にあることである。

ABSTRACT

In this paper we prove weak L^{1,p} (and thus C^{\alpha}) compactness for the class of uniformly mean-convex Riemannian n-manifolds with boundary satisfying bounds on curvature quantities, diameter, and (n-1)-volume of the boundary. We obtain two stability theorems from the compactness result. The first theorem applies to 3-manifolds (contained in the aforementioned class) that have Ricci curvature close to 0 and whose boundaries are Gromov-Hausdorff close to a fixed metric on S^2 with positive curvature. Such manifolds are C^{\alpha} close to the region enclosed by a Weyl embedding of the fixed metric into \R^3. The second theorem shows that a 3-manifold with Ricci curvature close to 0 (resp. -2, 2) and mean curvature close to 2 (resp. 2\sqrt 2, 0) is C^{\alpha} close to a metric ball in the space form of constant curvature 0 (resp -1, 1), provided that the boundary is a topological sphere.

研究の動機と目的

• 曲率、直径、境界の(n-1)体積に上限がある条件下で、境界をもつ一様に平均曲率が正であるリーマンn次多様体の弱L^{1,p}および Hölder (C^{\beta}) トポロジーにおけるコンパクト性を確立すること。
• リッチ曲率と境界幾何が特定のモデル幾何に近い3次元多様体の安定性定理を導出すること。
• リッチ曲率が0に近く、境界が正の曲率をもつS^2にGromov-Hausdorff距離で近い3次元多様体が、Weyl埋め込みによって境界づけられるR^3内の領域にC^{\beta}近傍にあることを示すこと。
• リッチ曲率が0、-2、または2に近く、平均曲率が2、2√2、または0に近い3次元多様体が、境界が位相的球面であれば、それぞれ曲率0、-1、1の空間形の測地的球にC^{\beta}近傍にあることを証明すること。
• コンパクト性手法を用いて、曲率および境界制約のもとで幾何的安定性の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 曲率、直径、境界の(n-1)体積に一様な上限がある条件下で、境界をもつ一様に平均曲率が正であるリーマンn次多様体のクラスに対して弱L^{1,p}コンパクト性を確立すること。
• コンパクト性結果を用いて、Gromov-Hausdorff収束および内在的幾何的比較技術を用いて安定性定理を導出すること。
• Weyl埋め込み定理を適用して、正の曲率をもつ境界計量をR^3への等長埋め込みと関連づけ、ユークリッド幾何と比較可能にする。
• 空間形における比較幾何を用いて、リッチ曲率および平均曲率の上限を、モデル幾何（ユークリッド、双曲的、球面空間形）と関連づける。
• 弱L^{1,p}コンパクト性から得られる Hölder (C^{\beta}) 正則性推定を用いて、計量のC^{\beta}収束を結論づける。
• 境界が球面であるという位相的仮定を活用して、位相的剛性を保証し、空間形の測地的球と比較可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率、直径、境界体積に上限がある条件下で、一様に平均曲率が正である境界付きリーマンn次多様体のクラスが、弱L^{1,p}およびC^{\beta}コンパクト性をもつための条件は何か？
• RQ2 リッチ曲率が0に近く、境界が正の曲率をもつS^2にGromov-Hausdorff距離で近い3次元多様体は、Weyl埋め込みを介してR^3内の領域によってどの程度近似可能か？
• RQ3 リッチ曲率および平均曲率の上限が、球面境界をもつ3次元多様体の幾何を、空間形の測地的球に近づける仕組みは何か？
• RQ4 境界の位相的型（特に球面であること）が、モデル空間形へのC^{\beta}安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 境界付き多様体のコンパクト性結果を用いて、リッチ曲率および平均曲率における定量的安定性定理を導出できるか？

主な発見

• 曲率、直径、境界の(n-1)体積に一様な上限がある条件下で、一様に平均曲率が正である境界付きリーマンn次多様体のクラスは、弱L^{1,p}コンパクト性をもつ。したがって、あるβ > 0に対してC^{\beta}コンパクト性も成立する。
• リッチ曲率が0に近く、境界が固定されたS^2上の正の曲率計量にGromov-Hausdorff距離で近い3次元多様体は、その計量をR^3にWeyl埋め込みした領域にC^{\beta}近傍にある。
• リッチ曲率が0（それぞれ-2、2）に近く、平均曲率が2（それぞれ2√2、0）に近い3次元多様体は、境界が位相的球面であれば、それぞれ曲率0（それぞれ-1、1）の空間形の測地的球にC^{\beta}近傍にある。
• 安定性定理は、曲率、直径、境界体積の均一な制御に依存する、背後のコンパクト性結果から導出される。
• C^{\beta}収束は、Gromov-Hausdorff収束だけではなく、弱L^{1,p}コンパクト性とその後続する正則性推定の結果である。
• これらの結果は、リッチ曲率および平均曲率における幾何的安定性に加え、境界制約があることで、全計量がモデル幾何にC^{\beta}トポロジーで近づくことを示している。