[論文レビュー] Companion to \An update on the Hirsch conjecture"

Edward D. KimFrancisco Santos|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

この補足論文は、『Hirsch予想の更新』という本論文で省かれた結果について、完全な証明と追加の解説を提供する。多面体組合せ論におけるHirsch予想に焦点を当て、3次元におけるn個の面をもつd次元多面体の直径について、H(n,3) = ⌊2n/3⌋ − 1 の正確な上限を、単体的多面体とへりのウォークを用いた双対的アプローチにより確立する。主な貢献は、3次元多面体におけるレイヤー状の頂点配置を用いた構成的証明による、タイトな上限の確立である。

ABSTRACT

AbstractThis is an appendix to our paper \An update of the Hirsch Conjec-ture, containing proofs of some of the results and comments that wereomitted in it. 1 Introduction This is an appendix to our paper \An update of the Hirsch Conjecture [39],containing proofs of some of the results and comments that were omitted in it.The numbering of sections and results is the same in both papers, although notall appear in this companion. The same occurs with the bibliography, whichwe repeat here completely although not all of the papers are referenced. Thenumbering of gures, however, is correlative. Figures 1 to 6 are in [39] andFigures 7 to 16 are here. 2 Bounds and algorithms 2.1 Small dimension or few facets *Theorem 2.1 (Klee [40]). H(n;3) = b 2n3 c 1.Proof. To prove the lower bound, we work in the dual setting where our polytopeP simplicial and we want to move from one facet to another along the ridgesof P. Figure 7 shows the graph of a simplicial 3-polytope with nine vertices inwhich ve steps are needed to go from the interior triangle to the most externalone (the outer face in the picture, which represents a facet in the polytope).The reader can easily generalize the gure to any number of vertices divisibleby three, adding layers of three vertices that increase the diameter by two.For a number of vertices equal to one or two modulo three, simply add one ortwo vertices in the interior of the central triangle, subdividing it into three or

研究の動機と目的

• 本論文で省かれたHirsch予想に関する結果の完全な証明を提供すること。
• n個の面をもつ3次元多面体の正確な直径境界 H(n,3) = ⌊2n/3⌋ − 1 を確立すること。
• 単体的多面体とへりパスを用いた幾何的構成と双対的解釈を提供すること。
• 3次元多面体における頂点レイヤーと面接続性にかかわる組合せ論的議論を明確化し、拡張すること。

提案手法

• 多面体が単体的であり、直径が面間のへりに沿ったウォークを通じて分析される双対的設定の使用。
• 各レイヤーに3つの頂点の集合を持つ3次元多面体の構成により、1つのレイヤーあたり直径を2ずつ増加させる。
• n ≡ 1 または 2 (mod 3) の場合の構成の適応は、中心の三角形内に1つまたは2つの頂点を追加して分割することにより実現される。
• Kleeの結果（定理2.1）を応用し、組合せ論的および幾何的推論により、正確な境界 H(n,3) = ⌊2n/3⌋ − 1 を導出する。
• 図7～16を用いて、レイヤー状の配置と双対グラフ上のへりのウォーク経路を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の面をもつ3次元多面体の正確な直径は何か、そしてどのようにタイトな境界を付与できるか？
• RQ2 双対的単体的多面体を用いることで、次元3の特殊ケースにおけるHirsch予想をどのように証明できるか？
• RQ3 各レイヤーに3つの頂点をもつ幾何的構成は、どのようにして直径を1つのレイヤーあたり2ずつ系統立てて増加させられるか？
• RQ4 n ≡ 1 または 2 (mod 3) の非可除の場合、中心の三角形内に頂点を追加すると直径にどのように影響するか？

主な発見

• n個の面をもつ3次元多面体の直径は、正確に H(n,3) = ⌊2n/3⌋ − 1 である。
• 3つの頂点のグループをもつ3次元多面体のレイヤー構成により、1レイヤーあたり直径が2ずつ増加する。
• n ≡ 1 または 2 (mod 3) の場合、中心の三角形内に1つまたは2つの頂点を追加することで、適切な分割が可能となり、直径境界が維持される。
• 単体的多面体とへりのウォークを用いた双対的アプローチにより、境界の幾何的直感的証明が得られる。