[論文レビュー] Comparing Absolute and relative Gromov--Witten invariants

Dusa McDuff|ArXiv.org|Sep 20, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック幾何における絶対的および相対的グロモフ・ウイテン不変量を比較し、特に genus zero の場合に、β·D = 0 を満たしてもそれらが異なることがあることを示している。Li–Ruanの分解公式と次元数え上げを用いて、除法 D の近傍に存在する曲線の寄与が、絶対的不変量では摂動で消えてしまうが、相対的不変量では検出可能である明示的な例を構成している。特に、D の正規バンドルが負である場合に顕著である。

ABSTRACT

This note compares the usual (absolute) Gromov-Witten invariants of a symplectic manifold with the invariants that count the curves relative to a (symplectic) divisor D. We give explicit examples where these invariants differ even though it seems at first that they should agree, for example when counting genus zero curves in a class \be such that \be\cdot D=0. The main tool is the decomposition formula in the form developed by A. Li--Ruan.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体における絶対的および相対的グロモフ・ウイテン不変量の関係を明確化すること。
• これらの不変量が一致するか、あるいは異なる条件、特に β·D = 0 かつ genus zero の場合を調査すること。
• 正規バンドルが正でない場合に、相対的不変量が消えるか、非自明になる条件を同定すること。
• 幾何的制約が同様に見えるにもかかわらず、絶対的および相対的不変量が異なる明示的な反例を提供すること。
• 分解公式が不変量を比較し、除法近傍の曲線からの隠れた寄与を検出する役割を明確化すること。

提案手法

• Li–Ruanの分解公式を用いて、シンプレクティック多様体上の不変量と、除法 D 上のルールド表面上の不変量を関連付ける。
• 次元数え上げを適用して、β·D′ ≥ 0 かつ制約が D から引き戻された場合に、特定の相対的不変量が消えることを示す。
• D 上のルールド表面 Y = P(L ⊕ C) を用いた明示的例を構成し、相対的不変量を分析する。D⁺ は無限遠、D′ はゼロ切断に対応する。
• 安定写像のモジュライ空間を、X∖D における主レベルと、D 上の |C*-バンドルにおける高レベルを含む複数レベルで分析し、除法付近のバブルをモデル化する。
• 仮想サイクルの統合と制約の一致を用いて、相対的不変量を計算し、絶対的不変量と比較する。
• D 上のホモロジー的制約と交差理論を用いて、f や α のクラスにある成分からの寄与が除外されるか、確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 β·D = 0 かつ genus zero の曲線に対して、絶対的および相対的グロモフ・ウイテン不変量が一致する条件は何か？
• RQ2 β·D = 0 であっても、相対的不変量が絶対的不変量に欠落している曲線の寄与を検出できるか？
• RQ3 除法 D の正規バンドルが、安定写像の正則性および摂動に果たす役割は何か？
• RQ4 Gathmannのアルゴリズムで計算された一部の不変量が、なぜ枚挙的でないのか。これは相対的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 相対的不変量の消滅に関する次元数え上げの議論が失敗するのはどのような場合か。その結果は何か？

主な発見

• β·D = 0 であっても、絶対的および相対的 genus zero 不変量は異なることがある。これは、単純な期待とは反する。
• 明示的な genus zero の例（命題 3.7）が構成され、相対的不変量は非ゼロである一方、絶対的不変量はゼロである。これは、絶対的設定において非正則性が生じるためである。
• D の正規バンドルが十分に負である場合に差が生じる。このとき、D 上の安定写像は D において正則であるが、X においては正則でなく、その寄与は絶対的不変量では摂動で消える。
• 補題 2.8 は、β·D′ ≥ 0 かつ制約が D から引き戻された場合に、相対的不変量が次元数え上げにより消えることを示している。
• 例 2.9 は、β·D′ < 0 の場合に、消滅結果が成り立たない genus zero のケースを示しており、この場合に非自明な相対的不変量が存在することを示している。
• 分解公式により、相対的不変量が全空間および除法上の構成の和として表され、f や α のようなクラスからの寄与が含まれる。