[論文レビュー] Comparing Fréchet and positive stable laws

Thomas Simon|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、安定分布のべき乗変換された変数を分析することにより、正の安定分布とフレシェ分布の間の確率的および凸順序の比較を確立する。特定の正規化された変換された${\bf Z}_{\alpha}$が、指数分布およびフレスチェ分布に対して確率的および凸的に順序付けられることを証明し、安定分布の尾部および密度関数の挙動に対する鋭い境界を提供するとともに、ミタグ・レフラー関数に対する一様推定を可能にする。

ABSTRACT

Let ${\bf L}$ be the unit exponential random variable and ${\bf Z}_α$ the standard positive $α$-stable random variable. We prove that $\{(1-α) α^{γ_α} {\bf Z}_α^{-γ_α}, 0< α<1\}$ is decreasing for the optimal stochastic order and that $\{(1-α){\bf Z}_α^{-γ_α}, 0< α< 1\}$ is increasing for the convex order, with $γ_α= α/(1-α).$ We also show that $\{Γ(1+α) {\bf Z}_α^{-α}, 1/2\le α\le 1\}$ is decreasing for the convex order, that ${\bf Z}_α^{-α}\,\prec_{st}\, Γ(1-α) Ł$ and that $Γ(1+\a){\bf Z}_α^{-α} \,\prec_{cx}\,{\bf L}.$ This allows to compare ${\bf Z}_α$ with the two extremal Fréchet distributions corresponding to the behaviour of its density at zero and at infinity. We also discuss the applications of these bounds to the strange behaviour of the median of ${\bf Z}_α$ and ${\bf Z}_α^{-α}$ and to some uniform estimates on the classical Mittag-Leffler function. Along the way, we obtain a canonical factorization of ${\bf Z}_α$ for $α$ rational in terms of Beta random variables. The latter extends to the one-sided branches of real strictly stable densities.

研究の動機と目的

• 正の$α$-安定分布（${\bf Z}_{\alpha}$）の確率的挙動を、確率的および凸順序を用いてフレスチェ分布と比較すること。
• 零点および無限大における極値フレスチェ分布と関連付けることにより、${\bf Z}_{\alpha}$の尾部および密度関数の鋭い境界を導出すること。
• 導出された確率的順序に基づいて、古典的ミタグ・レフラー関数に対する一様推定を確立すること。
• 有理数$α$について、ベータおよびガンマ確率変数を用いた${\bf Z}_{\alpha}$の標準的因子分解を提供し、片側安定密度関数へと拡張すること。

提案手法

• ${\bf Z}_{\alpha}$のラプラス変換による特徴付け、$\mathbb{E}[e^{-\lambda{\bf Z}_{\alpha}}] = e^{-\lambda^{\alpha}}$を用いてその分布的性質を分析する。
• 確率的順序理論の適用：すべての増加関数$\varphi$に対して$\mathbb{E}[\varphi(X)] \leq \mathbb{E}[\varphi(Y)]$が成り立つとき$X \prec_{st} Y$と定義し、すべての凸関数$\varphi$に対して$\mathbb{E}[\varphi(X)] \leq \mathbb{E}[\varphi(Y)]$が成り立つとき$X \prec_{cx} Y$と定義する。
• スペクトル的に負の$1$-安定な${\bf X}$を用いて${\bf S} = e^{{\bf X}}$を定義し、標準的下界を構築する。
• べき乗変換を用いた順序の導出：$\{(1-\alpha)\alpha^{\gamma_{\alpha}}{\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$（$\gamma_{\alpha} = \alpha/(1-\alpha)$）を用い、$\alpha$に関する単調性を示す。
• 恒等式$\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$および$\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$を用い、指数分布変数との比較を実施する。
• ${\bf Z}_{\alpha}$の有理数$\alpha$に対する因子分解を、$X^+(\alpha,\rho)$の表現に基づいてベータおよびガンマ変数を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の$\alpha$-安定分布は、尾部および密度関数の挙動に関して、フレスチェ分布とどのように確率的に比較できるか？
• RQ2 正規化されたべき乗変換された${\bf Z}_{\alpha}$を、指数分布およびフレスチェ分布と凸順序で比較することは可能か？
• RQ3 ${\bf Z}_{\alpha}$の確率的順序に基づいて導出されたミタグ・レフラー関数の鋭い境界は何か？
• RQ4 有理数$\alpha$について、ベータおよびガンマ確率変数を用いて${\bf Z}_{\alpha}$の標準的因子分解を構築することは可能か？
• RQ5 パrameter空間の屋根部における観察された凸順序の単調性が、小梁部へと拡張されるか？そしてこれは片側安定密度関数に何を意味するか？

主な発見

• ${\bf Z}_{\alpha}$の関数族$\{(1-\alpha)\alpha^{\gamma_{\alpha}}{\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$（$\gamma_{\alpha} = \alpha/(1-\alpha)$）は、$0 < \alpha < 1$において最適な確率的順序に関して単調に減少する。
• ${\bf Z}_{\alpha}$の関数族$\{(1-\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$は、$0 < \alpha < 1$において凸順序に関して単調に増加する。
• ${\bf Z}_{\alpha}$の関数族$\{\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha}\}$は、$1/2 \leq \alpha \leq 1$において凸順序に関して単調に減少する。
• ${\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{st} \Gamma(1-\alpha){\bf L}$および$\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$が成り立つ。これは鋭い境界を提供する。
• 有理数$\alpha$について、ベータおよびガンマ確率変数を用いた${\bf Z}_{\alpha}$の標準的因子分解が得られ、片側安定密度関数へと拡張される。
• $\rho \mapsto \Gamma(1+\rho)\Gamma(1-\rho)X^+(1,\rho)$は、$(0,1)$において凸順序に関して非増加である。これは、パrameter空間におけるより広範な凸順序構造の存在を示唆する。