[論文レビュー] Comparing globular complex and flow

Philippe Gaucher|ArXiv.org|Aug 7, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、S-ホモトピーとT-ホモトピー同値を保存する、グロブラー CW複体からフローへの関手を構成し、グロブラー CW複体のS-ホモトピーによる局所化とフローの弱いS-ホモトピー同値による局所化の間の同値性を確立する。主な貢献は、この関手を用いてフローの基本的ホモトピー型を定義し、それを双方向ホモトピー不変なホモトピー型構成として与えることである。

ABSTRACT

A functor is constructed from the category of globular CW-complexes to that of flows. It allows the comparison of the S-homotopy equivalences (resp. the T-homotopy equivalences) of globular complexes with the S-homotopy equivalences (resp. the T-homotopy equivalences) of flows. Moreover, it is proved that this functor induces an equivalence of categories from the localization of the category of globular CW-complexes with respect to S-homotopy equivalences to the localization of the category of flows with respect to weak S-homotopy equivalences. As an application, we construct the underlying homotopy type of a flow.

研究の動機と目的

• グロブラー CW複体とフローのホモトピー論を、方向付きホモトピー論の文脈で比較すること。
• S-ホモトピーおよびT-ホモトピー同値を保存する、グロブラー CW複体からフローへの関手を確立すること。
• フローの基本的ホモトピー型を双方向ホモトピー不変として定義し、方向付き構造から古典的ホモトピー型を抽出可能にする。
• 関手を通じて、フローにおける弱いS-ホモトピー同値およびT-ホモトピー同値が、グロブラー複体におけるそれらに対応することを示すこと。

提案手法

• 実行経路の幾何的実現と準フロー構造を用いて、グロブラー CW複体の圏からフローの圏への関手 $\mathsf{cat}$ を構成する。
• シリンダ関手とホモトピー拡張性質を用いて、両圏におけるS-ホモトピーおよびT-ホモトピー同値を定義する。
• フローの圏における $\mathsf{Glob}(\partial Z) \to \mathsf{Glob}(Z)$ の押し出しを、細胞付加のモデルとして用いる。
• 実行経路とS-ホモトピーの両設定において、ホモトピー極限およびホモトピー下付きを用いて比較する。
• 弱いS-ホモトピー同値を弱い同値とする、フローの圏におけるモデル構造を確立する。
• 関手を用いて、局所化圏 $\mathbf{glCW}[\mathcal{SH}^{-1}]$ と $\mathbf{Flow}[\mathcal{S}^{-1}]$ 間の同値性を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロブラー CW複体からフローへの関手は、両圏におけるS-ホモトピー同値を保存するか？
• RQ2 フローの基本的ホモトピー型はグロブラー複体に依存せずに定義可能であり、かつ双方向ホモトピー不変か？
• RQ3 関手を通じて、グロブラー複体におけるT-ホモトピー同値とフローにおけるT-ホモトピー同値の間には対応があるか？
• RQ4 局所化上の関手が、$\mathbf{glCW}[\mathcal{SH}^{-1}]$ と $\mathbf{Flow}[\mathcal{S}^{-1}]$ 間の圏の同値性を確立するか？
• RQ5 フローから位相空間のホモトピー圏への基本的ホモトピー型関手は、弱いS-ホモトピー同値およびT-ホモトピー同値に関して適切に定義されており、不変か？

主な発見

• 関手 $\mathsf{cat}: \mathbf{glCW} \to \mathbf{Flow}$ は、S-ホモトピー同値による局所化におけるグロブラー CW複体の圏と、弱いS-ホモトピー同値による局所化におけるフローの圏との間の圏同値を誘導する。
• グロブラー複体におけるS-ホモトピー同値は、$\mathsf{cat}$ による像となるフローにおいて、正確に弱いS-ホモトピー同値に対応し、逆も同様である。
• グロブラー CW複体におけるT-ホモトピー同値は、$\mathsf{cat}$ による像でフローにおけるT-ホモトピー同値に対応し、両ホモトピー論と整合する。
• 基本的ホモトピー型関手 $|-|: \mathbf{Flow} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{Top})$ は適切に定義されており、弱いS-ホモトピー同値およびT-ホモトピー同値をホモトピー圏における同型に送る。
• フローの基本的ホモトピー型の構成は双方向ホモトピー不変であり、方向付きホモトピー論における標準的不変量である。
• 任意のフロー $X$ に対して、基本的ホモトピー型 $|X|$ は、$\mathsf{cat}(X)$ の基本となる位相空間のホモトピー型と同型であり、S-およびT-ホモトピー同値と整合する。