[論文レビュー] Comparing Graphs via Persistence Distortion

Tamal K. Dey, Dayu Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 31被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、有限メトリックグラフを連続的な位相空間として扱うことにより、それらを比較するための新しい距離、すなわちパーシsistente-distortion距離を導入する。恒常的ホモロジーと計算幾何学を活用することで、メトリックの摂動に対して安定し、グラフの離散化に対して頑健である一方で、多項式時間で計算可能であり、離散的グラフマッチング手法に代わる連続的で安定的かつ効率的な代替手法を提供する。

ABSTRACT

Metric graphs are ubiquitous in science and engineering. For example, many data are drawn from hidden spaces that are graph-like, such as the cosmic web. A metric graph offers one of the simplest yet still meaningful ways to represent the non-linear structure hidden behind the data. In this paper, we propose a new distance between two finite metric graphs, called the persistence-distortion distance, which draws upon a topological idea. This topological perspective along with the metric space viewpoint provide a new angle to the graph matching problem. Our persistence-distortion distance has two properties not shared by previous methods: First, it is stable against the perturbations of the input graph metrics. Second, it is a continuous distance measure, in the sense that it is defined on an alignment of the underlying spaces of input graphs, instead of merely their nodes. This makes our persistence-distortion distance robust against, for example, different discretizations of the same underlying graph. Despite considering the input graphs as continuous spaces, that is, taking all points into account, we show that we can compute the persistence-distortion distance in polynomial time. The time complexity for the discrete case where only graph nodes are considered is much faster. We also provide some preliminary experimental results to demonstrate the use of the new distance measure.

研究の動機と目的

• グラフの幾何的実現におけるすべての点を考慮する、安定的で連続的な距離測度を構築すること。
• 同じグラフの下位構造に対して異なる離散化やメトリックの摂動に対して頑健であることを保証すること。
• Gromov-Hausdorff距離のようなNP困難なグラフマッチング手法の代替として、計算的に実行可能である手法を提供すること。
• パーシステントホモロジーとメトリック空間のアライメントを統合することで、位相的データ解析とグラフ比較を橋渡しすること。

提案手法

• パーシステンス・ディストーション距離は、メトリックグラフ上の「基点からの距離関数」から得られるパーシステンス図のインタリーブィング距離に基づいて定義される。
• 基点の空間を、パーシステンス図が安定する領域に分割することで、計算を効率化する。
• グラフ内の測地線距離関数の性質を活用し、臨界領域の数を制限することで、計算複雑度を低減する。
• 離散的近似として、グラフの頂点から基点をサンプリングし、理論的な誤差限界（例：≤12δ）を定理3により証明する。
• アルゴリズムは、サンプリングされた基点のパーシステンス図間のボトルネック距離を計算することで、連続距離を近似する。
• 理論的分析により、グラフのすべての点を考慮しても、連続的パーシステンス・ディストーション距離は多項式時間で計算可能であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての点を幾何的実現に含める連続的で安定的かつ効率的に計算可能な距離を、メトリックグラフに対して定義できるか？
• RQ2 パーシステントホモロジーのような位相的不変量を用いて、離散化に敏感でない頑健なグラフ距離を定義できるか？
• RQ3 メトリックの摂動に対して安定する多項式時間で計算可能なグラフ距離を実現できるか？
• RQ4 パーシステンス・ディストーション距離と、グラフ編集距離やスペクトルマッチングのような既存のグラフマッチング手法との関係は何か？

主な発見

• パーシステンス・ディストーション距離はメトリックの摂動に対して安定しており、グラフメトリックの小さな変化が距離の小さな変化にしか与えないことを保証する。
• 本手法は連続的であるため、頂点の対応付けにとどまらず、グラフの下位空間全体を整合させるため、異なる離散化に対してより頑健である。
• 連続的パーシステンス・ディストーション距離は、グラフ内のすべての点を考慮しても多項式時間で計算可能である。
• 距離の離散的近似では、基点のサンプリング密度δに対して、推定誤差が最大で12δまでに抑えられる。
• 実験結果から、同様のモデル（例：同じ物体の異なるポーズ）に対して距離が小さい値を示すことが確認され、類似したグラフと異なるグラフを区別できる能力が裏付けられた。
• 距離の計算時間は通常10秒未塔であり、大きなグラフ（例：アーマドillo）では最大20秒程度で、実用的な効率性を示している。