[論文レビュー] Comparing Tensor Renormalization Group and Monte Carlo calculations for spin and gauge models

Yannick Meurice, A. Denbleyker+6 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、古典的スピン模型およびゲージ理論（O(N)模型、Z2、U(1)、SU(2)ゲージ理論を含む）における正確で数値的に制御可能なブロッキングを可能にするテンソル縮重群（TRG）法を提示する。内部自由度と隣接する自由度を明確に分離することで、長年の課題である簡潔なブロッキング公式の導出を克服し、大スケールのシミュレーションと符号問題の取り扱いが可能になる。2次元O(2)模型における複素βおよび化学ポテンシャルの下で、正確な結果が得られることで実証された。

ABSTRACT

We show that the Tensor Renormalization Group (TRG) method can be applied to O(N) spin models, principal chiral models and pure gauge theories (Z2, U(1) and SU(2)) on (hyper) cubic lattices. We explain that contrarily to some common belief, it is very difficult to write compact formulas expressing the blockspinning of lattice models. We show that in contrast to other approaches, the TRG formulation allows us to write exact blocking formulas with numerically controllable truncations. The basic reason is that the TRG blocking separates neatly the degrees of freedom inside the block and which are integrated over, from those kept to communicate with the neighboring blocks. We argue that the TRG is a method that can handle large volumes, which is crucial to approach quasi-conformal systems. The method can also get rid of some sign problems. We discuss recent results regarding the critical properties of the 2D O(2) nonlinear sigma model with complex beta and chemical potential. As some of these results appeared in a recently published paper (PRD 88, 056005) and two recent preprints (arXiv:1309.4963 and arXiv:1309.6623), these proceedings rather emphasize the conceptual aspects of our ongoing effort.

研究の動機と目的

• 古典的格子模型におけるブロックスピンの体系的で数値的に制御可能な手法の開発を目的とし、簡潔な有効作用を導出するという長年の難問を解決すること。
• テンソル縮重群（TRG）の適用範囲を、O(N)スピン模型、主形式模型、および純粋ゲージ理論（Z2、U(1)、SU(2)）に拡張すること。
• 従来のモンテカルロ法が失敗する複素結合定数や化学ポテンシャルを有する系における符号問題の取り扱いが可能かどうかを示すこと。
• ウィルソンの元々のブロックスピンのアイデアを正確かつ体系的に実現する概念的・計算的枠組みを提供すること。
• 準自己相似系における臨界現象や大スケールのシミュレーションにおいて、モンテカルロ法の代替手段としてTRGを有効なものとすること。

提案手法

• スピンおよびゲージ模型をテンソルネットワーク表現に写像するために、特徴関数展開を用いる。自由度はリンクに割り当てられ、分配関数がサイトテンソルの縮約として表現される。
• 各サイトはテンソル（例：T^{(i)}）で表され、インデックスは半リンクに対応し、Kroneckerデルタおよびβの双曲的関数を用いて局所的なスピンまたはゲージ相互作用が記述される。
• ブロッキングはテンソルの縮約と特異値分解（SVD）を用いて実行され、内部自由度は統合されつつ、保持されたインデックスによって長距離相関が保存される。
• 高次元TRG（HOTRG）アルゴリズムにより、結合次元の体系的断片化が可能となり、断片化を増加させることで数値的制御と収束が保証される。
• ゲージ理論では、立方体と面を表すA、B、Cのテンソルを用いた対称的表現を採用し、3次元格子における逐次的ブロッキングが可能になる。
• 統合された内部変数と外部通信変数を分離することで、ブロッキング変換の正確性が維持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル縮重群（TRG）法は、(超)立方格子上におけるO(N)スピン模型、主形式模型、および純粋ゲージ理論に体系的に適用可能か？
• RQ2 なぜ一般に格子模型に対して簡潔なブロッキング公式を書くのが難しいのか。TRGはこの制限を克服できるか？
• RQ3 複素βや化学ポテンシャルを有する模型において、従来のモンテカルロ法が失敗する符号問題をTRGは処理できるか？
• RQ4 臨界系の大スケールシミュレーションにおいて、TRGはモンテカルロ法と比較してどの程度の性能を示すか？
• RQ5 TRGは2次元O(2)模型における既知のフィッシャー零点や臨界指数を正確に再現できるか？

主な発見

• TRGは複素βにおける2次元イジング模型の分配関数を、非常に高い精度で計算し、大虚数β領域においても正確なオンサージャー＝オーマン解と一致する。モンテカルロ法では失敗する領域でも有効である。
• 2次元O(2)模型では、L = 4 から 64 の全スケールでフィッシャー零点を正確に特定でき、モンテカルロ法およびリウェイト法と優れた一致を示した。
• 2次元O(2)模型の大スケールシミュレーションにおいて、TRGの臨界性質の結果はモンテカルロ法と一致し、熱力学的極限における正確性が検証された。
• 化学ポテンシャルを有する2次元O(2)模型に対しても、TRGは高精度で結果を再現でき、ワームアルゴリズムの結果と一致した。符号問題領域における有効性が実証された。
• 従来のモンテカルロ法よりもはるかに大きなスケールのシミュレーションが可能となり、準自己相似系や臨界現象の研究に不可欠な大スケールの計算が可能になった。
• SVDによる体系的断片化により数値的制御が保証されるが、中間的な断片化効果の解析的解釈は未だ不明である。