[論文レビュー] Comparing theories: the dynamics of changing vocabulary. A case-study in relativity theory

Hajnal Andréka, István Németi|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2013

Philosophy and Theoretical Science参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、数学的論理を用いて、特殊相対性理論の2つの異なる一階論理公理化（参照枠に基づく理論（SpecRel）と信号伝播に基づく理論（SigTh））を比較する。定義的同値性（Tarskiの意味での解釈を介して構築）により、SigThは相対的距離を除き、SpecRelの全内容を表現可能であることが示され、これはAxSym（測定単位）をSigThに追加することで達成される。主な貢献は、信号交換に基づく参照枠の明確な操作的意味論の確立であり、相対性理論における理論的枠組みと観測的枠組みを統合するものである。

ABSTRACT

There are several first-order logic (FOL) axiomatizations of special relativity theory in the literature, all looking essentially different but claiming to axiomatize the same physical theory. In this paper, we elaborate a comparison, in the framework of mathematical logic, between these FOL theories for special relativity. For this comparison, we use a version of mathematical definability theory in which new entities can also be defined besides new relations over already available entities. In particular, we build an interpretation of the reference-frame oriented theory SpecRel into the observationally oriented Signalling theory of James Ax. This interpretation provides SpecRel with an operational/experimental semantics. Then we make precise, "quantitative" comparisons between these two theories via using the notion of definitional equivalence. This is an application of logic to the philosophy of science and physics in the spirit of Johan van Benthem's work.

研究の動機と目的

• 異なる一階論理公理化（SpecRel（参照枠）とSigTh（信号と粒子））が、見た目は異なるが同じ物理理論を記述すると主張する理論どうしの理論的内容および表現力の面で比較すること。
• これらの理論が内容的および表現的力において同値であるかどうかという基礎的問題を解消すること。
• 異なる原始的概念を有する理論を比較するための拡張定義可能性理論に基づく手法を開発すること。この手法では、関係だけでなく、新たな種類の実体の定義を可能にする。
• 信号の発信と受信といった観測的素性に基づいて、特殊相対性理論における参照枠の操作的／実験的意味論を定義すること。
• AxSym（測定単位）のような公理の哲学的・物理的意義を明確にすること。具体的には、これらが物理的必要性ではなく、定義的便宜であることを示すこと。

提案手法

• 原始的概念が異なる理論を比較できるように、新たな種類の実体（関係に限らない）を定義可能にする、定義可能性理論の修正形を用いる。
• 参照枠に依存する理論SpecRelを信号に基づく理論SigThへTarski風の解釈として埋め込むことで、理論的構成要素に操作的意味を与える。
• SigThの言語に新たな原始的関係Tu（時間単位）を追加し、ミンコフスキー距離を捉えるためのSigTh⁺を構築する。
• SigTh⁺と、AxSymおよび他の補助公理を含む強化版SpecRel（SpecRel + Compl⁻）との間で定義的同値性を証明する。
• 自己同型群の分析を用いて、SigThとSigTh⁺が定義的同値でないことを示し、Tuの追加が本質的かつ定義不能であることを証明する。
• この枠組みを応用し、SigThが時間方向性を含むGoldblattの幾何的理論と定義的同値であり、Suppesの公理化の変種とも同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参照枠に基づく理論（SpecRel）と信号に基づく理論（SigTh）という、互いに排他的な語彙を有する2つの一階論理公理化が、理論的内容および表現力の面で意味的に比較可能かどうか。
• RQ2 特に測定単位公理AxSymの役割に注目した場合、参照枠に基づく理論SpecRelと信号に基づく理論SigThとの間の正確な論理的関係は何か。
• RQ3 数学的論理を用いて、信号の発信と受信といった観測的素性から、参照枠の操作的意味論を厳密に導出できるか。
• RQ4 イベント間のミンコフスキー距離は、SigThの言語内で定義可能か、それとも理論の拡張が必要か。
• RQ5 時間方向性やAxSymといった補助的公理は、理論の表現力にどの程度貢献するか。それらは物理的仮説ではなく、定義的便宜であると示せるか。

主な発見

• 時間方向性を追加したGoldblattの幾何的公理化の変種とSigThは定義的同値であることが示され、2つの定式化が論理的に相互に翻訳可能であることが確認された。
• SigThに時間単位関係Tuを追加したSigTh⁺は、AxSymおよび他の補助公理を含む強化版SpecRel（SpecRel + Compl⁻）と定義的同値である。これにより、2つの枠組みの間の明確な論理的接続が確立された。
• 自己同型群の差異により、SigThの元の言語内ではTuの追加が定義不能であることが示され、SigThとSigTh⁺が定義的同値でないことが証明された。
• 測定単位を固定するAxSymは、物理的・哲学的に本質的ではなく、単なる簡略化の仮定である。その内容はSigTh⁺における新たな原始的関係Tuによって捉えられる。
• SpecRelをSigThに解釈することで、信号交換に基づく参照枠の具体的な操作的意味論が得られ、これは宇宙論的スケールでも有効である。
• 定義的同値性を数学的論理の解釈を通じて確立することで、原始的概念が異なる物理理論を厳密に比較する手法が可能であることが示された。本研究は、物理学における理論比較の統一的枠組みを提供する。