[論文レビュー] Comparing Three Notions of Discrete Ricci Curvature on Biological Networks

Maryam Pouryahya, James C. Mathews+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、生物学的ネットワークおよびがんネットワークにおける3つの離散リッチィ曲率概念—Ollivier、Bakry-Émery、Forman—を比較し、すべての3つの手法で一貫した結果を示した。また、転写ネットワークにおける方向性・符号付き相互作用をモデル化するための符号付き制御リッチィ曲率を導入し、より高い曲率がネットワークの頑健性および機能的安定性と相関することを示した。

ABSTRACT

In the present work, we study the properties of biological networks by applying analogous notions of fundamental concepts in Riemannian geometry and optimal mass transport to discrete networks described by weighted graphs. Specifically, we employ possible generalizations of the notion of Ricci curvature on Riemannian manifold to discrete spaces in order to infer certain robustness properties of the networks of interest. We compare three possible discrete notions of Ricci curvature (Olivier Ricci curvature, Bakry-Émery Ricci curvature, and Forman Ricci curvature) on some model and biological networks. While the exact relationship of each of the three definitions of curvature to one another is still not known, they do yield similar results on our biological networks of interest. These notions are initially defined on positively weighted graphs; however, Forman-Ricci curvature can also be defined on directed positively weighted networks. We will generalize this notion of directed Forman Ricci curvature on the network to a form that also considers the signs of the directions (e. g., activator and repressor in transcription networks). We call this notion the \emph{signed-control Ricci curvature}. Given real biological networks are almost always directed and possess positive and negative controls, the notion of signed-control curvature can elucidate the network-based study of these complex networks. Finally, we compare the results of these notions of Ricci curvature on networks to some known network measures, namely, betweenness centrality and clustering coefficients on graphs.

研究の動機と目的

• 重み付きかつ有向の生物学的ネットワークにおける、3つの異なる離散リッチィ曲率定義—Ollivier、Bakry-Émery、Forman—を評価および比較すること。
• リッチィ曲率と、媒介性中心性やクラスタリング係数といった既存のネットワーク指標との関係を調査すること。
• 転写ネットワークにおける活性化と不活性化をモデル化するために、有向かつ符号付きネットワークへのFormanリッチィ曲率の拡張として、符号付き制御リッチィ曲率の概念を導入すること。
• リッチィ曲率が、がんネットワークと通常のネットワークを区別するうえで、ネットワークの機能的安定性の強力な指標として機能するかどうかを評価すること。
• 最適輸送理論を介してエントロピーとシステムの頑健性に関連する幾何的測度としてのリッチィ曲率の可能性を検討すること。

提案手法

• 重み付きグラフ上の確率測度における Wasserstein 2距離を用いて Ollivier リッチィ曲率を適用し、曲率推定に最適輸送を活用する。
• グラフ上に定義されたマルコフ過程における Γ₂ 計算法を用いて Bakry-Émery リッチィ曲率を実装し、ボッハナーの公式を用いて曲率とラプラシアン固有値を関連付ける。
• 1次元セル複体（グラフ）における Forman リッチィ曲率を用い、ラプラシアンのボッハナー＝ワイツェンボック分解に基づくエッジベースの曲率を定義する。
• エッジの方向性と符号（活性化/不活性化）を曲率計算に組み込むことで、Forman リッチィ曲率を有向かつ符号付きネットワークに一般化し、符号付き制御リッチィ曲率を導入する。
• モデルおよび実際の生物学的ネットワーク（スケールフリーネットワークおよび乳がんネットワークを含む）に対して、ノードごとのスカラー曲率を計算し、3つの曲率定義間で結果を比較する。
• ピアソン相関を用いて曲率値と媒介性中心性および局所クラスタリング係数の相関を評価し、構造的解釈可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生物学的ネットワークおよびがんネットワークにおいて、Ollivier、Bakry-Émery、Forman の3つの離散リッチィ曲率概念の値と分布は、どのように比較できるか？
• RQ2 リッチィ曲率と、媒介性中心性やクラスタリング係数といった古典的ネットワーク指標との関係は何か？
• RQ3 符号付き制御リッチィ曲率は、転写ネットワークにおける調節的相互作用の方向性および符号性を効果的に捉えられるか？
• RQ4 がんネットワークは、通常のネットワークと比較して、平均リッチィ曲率が体系的に高いと見られるか？これは、より高い曲率が頑健性と相関することを示唆するか？
• RQ5 数学的基礎が異なるにもかかわらず、3つの曲率定義が、一貫したトポロジカルなインサイトをもたらす程度はどの程度か？

主な発見

• Ollivier、Bakry-Émery、Forman の3つの離散リッチィ曲率定義は、すべてのネットワークにおいて、媒介性中心性およびクラスタリング係数との間で極めて類似した相関パターンを示し、一貫したトポロジカルなインサイトを提供している。
• リッチィ曲率と媒介性中心性の間のピアソン相関係数（R）は、3つの曲率手法すべてで類似しており、曲率が中心性に類似した測度としての頑健性を示している。
• リッチィ曲率とクラスタリング係数の間の相関は弱く、ネットワーク間で一貫性がなく、曲率とクラスタリングが異なるネットワーク的性質を測定していることを示している。
• すべての3つの曲率定義において、がんネットワークは通常のネットワークと比較して一貫して高い平均リッチィ曲率を示しており、より高い曲率が機能的頑健性と相関することを支持する。
• 提案された符号付き制御リッチィ曲率は、有向かつ符号付きネットワークへのForman曲率の拡張を効果的に実現し、転写調節における活性化と不活性化をモデル化可能である。
• 結果は、リッチィ曲率がエントロピーおよびシステムの頑健性と関連する幾何的測度として使用可能であることを支持しており、特に曲率順位付けによるキーノード（例：がん標的）の同定に応用可能である可能性を示している。