[論文レビュー] Comparing WO$(\omega^\omega)$ with $\Sigma^0_2$ induction

Stephen G. Simpson|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、第二順序算術の部分体系におけるWO$(\omega^\omega)$—すなわち、順序数$\omega^\omega$が整列順序であるという主張—と$\Sigma^0_2$帰納法（I$\Sigma^0_2$）および$\Sigma^0_2$上限性（B$\Sigma^0_2$）との論理的関係を確立する。I$\Sigma^0_2$がWO$(\omega^\omega)$を含むことが証明されるが、WO$(\omega^\omega)$はB$\Sigma^0_2$を含まず、両者の組み合わせもI$\Sigma^0_2$を含まないため、WO$(\omega^\omega)$は証明論的強さの観点からB$\Sigma^0_2$とI$\Sigma^0_2$の間に厳密に位置づけられる。

ABSTRACT

Let WO$(\\omega^\\omega)$ be the statement that the ordinal number $\\omega^\\omega$ is well ordered. WO$(\\omega^\\omega)$ has occurred several times in the reverse-mathematical literature. The purpose of this expository note is to discuss the place of WO$(\\omega^\\omega)$ within the standard hierarchy of subsystems of second-order arithmetic. We prove that WO$(\\omega^\\omega)$ is implied by I$\\Sigma^0_2$ and independent of B$\\Sigma^0_2$. We also prove that WO$(\\omega^\\omega)$ and B$\\Sigma^0_2$ together do not imply I$\\Sigma^0_2$.

研究の動機と目的

• 第二順序算術の部分体系の階層内における、順序数$\omega^\omega$が整列順序であるという主張WO$(\omega^\omega)$の証明論的強さを明確化すること。
• WO$(\omega^\omega)$が$\Sigma^0_2$帰納法（I$\Sigma^0_2$）または$\Sigma^0_2$上限性（B$\Sigma^0_2$）を含むか、それらに含されるかを特定すること。
• RCA$_0$上でのWO$(\omega^\omega)$とB$\Sigma^0_2$の独立性を確立し、それらの結合がI$\Sigma^0_2$を含まないことを示すこと。
• 逆数学の文脈において、WO$(\omega^\omega)$、I$\Sigma^0_2$、B$\Sigma^0_2$の論理的関係をモデル理論的および証明論的に分析すること。

提案手法

• 任意の$\omega^\omega$内の下降列$f$に対して、$\Phi(n,f)$が成り立つことを、自然数$n$に関する$\Pi^0_2$帰納法を用いて証明し、このような列が存在するならば最終的に矛盾に至ることを示す。
• $\Pi^0_2$帰納法を用いて$\omega^\omega$内の下降列の構造を分析し、Cantor標準形および順序数の算術的性質を活用する。
• 非標準的モデル$M$をB$\Sigma^0_2$ + $\Psi$のモデルとして構成し、非標準的要素$c$からの$\Sigma^0_2$-定義可能性によって初期部分モデル$\widehat{M}_2$を形成し、モデルの閉包性を分析する。
• アンダースプライルおよび余帰納性の議論を用いて、$\widehat{M}_2$がB$\Sigma^0_2$およびWO$(\omega^\omega)$を満たすがI$\Sigma^0_2$を満たさないことを示す。これは、有界部分集合から無限大部分集合への$\Sigma^0_2$-定義可能な全射の存在を示すことによって達成される。
• $\Sigma^0_2$-初等部分モデルの方法と一様化論理式を用いて、$\widehat{M}_2$がI$\Sigma^0_2$を満たさないが、B$\Sigma^0_2$およびWO$(\omega^\omega)$を保持することを示す。
• RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$ + WO$(\alpha)$（$\alpha$は原始再帰的線形順序）の整合性が、I$\Sigma^0_2$を証明しないことを示すために、モデル理論的構成の一般化を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二順序算術の文脈において、I$\Sigma^0_2$はWO$(\omega^\omega)$を含むか？
• RQ2 RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$においてWO$(\omega^\omega)$は証明可能か？
• RQ3 WO$(\omega^\omega)$とB$\Sigma^0_2$を合わせて、I$\Sigma^0_2$を証明できるか？
• RQ4 WO$(\omega^\omega)$の正確な証明論的強さは、第二順序算術の標準的部分体系に対してどの程度か？
• RQ5 I$\Sigma^0_2$を満たさないRCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$ + WO$(\omega^\omega)$のモデルは存在するか？

主な発見

• WO$(\omega^\omega)$はRCA$_0$ + I$\Sigma^0_2$で証明可能であり、$\omega^\omega$内の下降列の構造に関する$\Pi^0_2$帰納法によって示される。
• RCA$_0$上、WO$(\omega^\omega)$はB$\Sigma^0_2$を含まない。これは、RCA$_0$ + WO$(\omega^\omega)$でアッカーマン関数の全性が証明可能だが、RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$では証明不可能であるためである。
• WO$(\omega^\omega)$とB$\Sigma^0_2$を合わせてもI$\Sigma^0_2$は含まない。これは、両者を満たすがI$\Sigma^0_2$を満たさないモデル$\widehat{M}_2$を構成することで示された。
• モデル$\widehat{M}_2$は、B$\Sigma^0_2$ + $\Psi$の非標準的モデル$M$の初期部分モデルとして、非標準的要素$c$からの$\Sigma^0_2$-定義可能性によって構成され、WO$(\omega^\omega)$およびB$\Sigma^0_2$を満たすがI$\Sigma^0_2$を満たさないことが示された。
• 証明はアンダースプライルおよび$\Sigma^0_2$-帰納法の失敗に依拠しており、これは$\widehat{M}_2$内に有界部分集合から無限大部分集合への$\Sigma^0_2$-定義可能な全射が存在することを示す。
• 結果は高次のレベルへ一般化可能である：$k \geq 2$に対して、WO$(\omega_k)$はRCA$_0$ + I$\Sigma^0_k$で証明可能だがRCA$_0$ + B$\Sigma^0_k$では証明不可能であり、両者の結合もI$\Sigma^0_k$を含まない。