[論文レビュー] Comparison between compactly-supported spherical radial basis functions and interpolating moving least squares meshless interpolants for gravity data interpolation in geodesy and geophysics

Mostafa Kiani Shahvandi|arXiv (Cornell University)|May 17, 2020

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、南アフリカにおける重力データの補間に、コンpactにサポートされた球面的径数基底関数（CSSRBF）と補間型移動最小二乗法（IMLS）を比較している。観測された重力加速度を用いた結果、特に対数およびポアソンカーネルを用いる場合、CSSRBFはIMLSよりも高い精度と高速な計算を達成し、最適設定下で標準偏差24.4–25.8 mGalを示したのに対し、IMLSは26.9 mGalであった。

ABSTRACT

The present paper is focused on the comparison of the efficiency of two important meshless interpolants for gravity acceleration interpolation. Compactly-supported spherical radial basis functions and interpolating moving least squares are used to interpolate actual gravity accelerations in southern Africa. Interpolated values are compared with actual values, gathered by observation. A thorough analysis is presented for the standard deviation of the differences between interpolated and actual values. Three different class of spherical radial basis functions-Poisson, singularity, and logarithmic-and four different type of basis functions for interpolating moving least squares approach-planar, quadratic, cubic, and spherical harmonics-are used. It is shown that in this particular problem compactly-supported spherical radial basis functions are faster and capable of achieving higher accuracies, compared to interpolating moving least squares scheme.

研究の動機と目的

• コンパクトにサポートされた球面的径数基底関数（CSSRBF）と補間型移動最小二乗法（IMLS）が重力加速度データを補間する際の効率性と正確性を評価・比較すること。
• IMLS法におけるさまざまな基底関数（平面型、二次型、三次型、球面調和関数）と、CSSRBF法におけるさまざまな球面カーネル（ポアソン、特異性、対数）の性能を評価すること。
• 補間された値と観測値の間の標準偏差が最小となる方法を特定し、正確性の指標とする。
• 点配置と近隣点の数が補間の正確性および計算効率に与える影響を分析すること。
• 現実の測地学的・地球物理学的データ補間において、CSSRBFがIMLSに比べて速度、正確性、柔軟性に優位性を示すかどうかを検証すること。

提案手法

• IMLS法は、局所的にサポートされた重み関数を用いた最小二乗法に基づく局所的近似を採用し、スケーリングパラメータδと径数的重み関数ψ(r)により定義される。ここでr = ||ξ − ηⱼ|| / δである。
• IMLSには4種類の基底関数が用いられる：平面型（1, x, y, z）、二次型（二次までの項まで）、三次型（三次までの項まで）、球面調和関数（次数vまで）。
• CSSRBFは、形状パラメータhと近傍点数nを用いた、コンパクトにサポートされた球面カーネル（ポアソン、特異性、対数）を採用し、局所的サポート半径内でのみ補間が行われる。
• 補間誤差は、2000個のテスト点における補間値と観測値の差の標準偏差（σ）を用いて定量化される。
• 本手法では、CSSRBFの近隣点数（n = 4, 10, 20）と形状パラメータ（h）およびIMLSの球面調和関数の次数（v）を変化させた条件下で性能を評価する。
• 比較は、南アフリカの既知の12,559点の実測重力データを用い、精度の妥当性を検証するため2,000点の補間点を用いて実施された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 南アフリカにおいて、補間値と観測値の間の標準偏差がより小さいのは、CSSRBFかIMLSのどちらか？
• RQ2 さまざまな基底関数（平面型、二次型、三次型、球面調和関数）がIMLS補間法の正確性と安定性に与える影響は？
• RQ3 球面カーネル（ポアソン、特異性、対数）および形状パラメータhの選択がCSSRBFの性能に与える影響は？
• RQ4 近隣点の数（n）とスケーリングパラメータδが補間の正確性および計算効率に与える影響は？
• RQ5 コンパクトサポートと局所的計算のおかげで、CSSRBFは、同等またはそれ以上の正確性を達成する場合でも、IMLSに比べて計算上の利点を有するか？

主な発見

• CSSRBFは、ポアソンカーネルを用い、n = 20、h = 0.8とした場合、最小標準偏差24.4 mGalを達成し、球面調和関数をv = 8として使用した最良のIMLS結果（26.9 mGal）を上回った。
• 対数カーネルを用いたCSSRBFは、n = 20、h = 0.8の条件下で標準偏差25.8 mGalを達成し、これは最良のIMLS結果を下回っており、81点ではなく20点での計算で達成された。
• 特異性カーネルでは、n = 4、h = 0.3およびn = 10、h = 0.65の条件下で、CSSRBFがIMLSより低い標準偏差を達成し、特定のパrameter設定下での優れた性能を示した。
• 既知の点の配置が補間点に対して与える影響は、使用する点の数よりも強く、4点の平面型IMLSが10点の二次型IMLSを上回ったことが示された。
• CSSRBFは、nとhという2つの調整可能なパラメータを有するため、IMLSの単一パラメータ（n）に比べ、より精密なチューニングが可能で、柔軟性に優れたことが示された。
• IMLSの基底関数行列の条件数は、球面調和関数の次数vが上昇するにつれて増加し、v > 8では安定性と信頼性が低下する傾向を示したが、CSSRBFはテストされたすべてのパラメータ設定で安定性を維持した。