[論文レビュー] Comparison between rigid syntomic and crystalline syntomic cohomology for strictly semistable log schemes with boundary

Veronika Ertl, Kazuki Yamada|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値 (0,p) の完備離散付値環上での厳密に半安定な対数スキームに対して、剛体シントミックコホモロジーを導入し、良いコンパactificationが存在する場合にネコヴァーアル–ニツォリのクリスタルシントミックコホモロジーとの比較同型を確立する。主な技術的進展は、グローブェ＝クロンネの剛体肥田–カトウ理論の修正と、境界を持つ対数スキームへの一般化であり、これにより、固有値 $p^r$、$r \geq -1$ のフロベニウス固有空間上でフロベニウスと肥田–カトウ写像の両方が自然に整合する複体が得られる。この結果により、コンパクト化可能な場合における剛体およびクリスタルシントミックコホモロジーの整合性が裏付けられる。

ABSTRACT

We introduce rigid syntomic cohomology for strictly semistable log schemes over a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0,p). In case a good compactification exists, we compare this cohomology theory to Nekovář-Nizioł's crystalline syntomic cohomology of the generic fibre. The main ingredients are a modification of Große-Klönne's rigid Hyodo-Kato theory and a generalisation of it for strictly semistable log schemes with boundary.

研究の動機と目的

• 混合特徴値 (0,p) の厳密に半安定な対数スキームに対して、純粋に解析的で $p$-進レギュレーターの計算に適した $p$-進コホモロジー理論を構築すること。
• 局所的リフトに依存する対数剛体コホモロジーに起因する技術的困難を克服し、自然な剛体複体を構成すること。
• グローブェ＝クロンネの剛体肥田–カトウ理論を境界を持つ対数スキームへ一般化し、クリスタルシントミックコホモロジーとの比較を可能にすること。
• 良いコンパクト化が存在する場合に、剛体およびクリスタルシントミックコホモロジーの間の比較同型を確立すること。
• 固有値 $p^r$、$r \geq -1$ のフロベニウス固有空間上で、剛体およびクリスタルシントミック肥田–カトウ写像の整合性を示すこと。

提案手法

• グローブェ＝クロンネの剛体肥田–カトウ理論の修正を用いて、細かい対数スキームおよび境界を持つ対数スキームに対して自然な剛体複体を構成する。
• 単体的解体と境界を持つ $T$-対数スキームを用いて、境界を持つ厳密に半安定な対数スキームの剛体肥田–カトウコホモロジーを定義する。
• 剛体コホモロジーとクリスタルコホモロジーの比較のためのブリッジとして対数収束コホモロジーを用い、クリスタルおよび収束型のポincare補題を活用する。
• 剛体肥田–カトウ複体における基底変換およびフロベニウス構造の整合性を確立し、フロベニウス固有空間との整合性を保証する。
• 剛体、収束型、クリスタルコホモロジー理論を結ぶ可換図式を構成し、比較写像と準同型を含む。
• 自然な準同型 $\mathrm{sp}: R\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K) \to R\Gamma_{\mathrm{rig}}(X_0/O_\pi^K)$ が準同型であることを証明し、フロベニウス固有空間における肥田–カトウ写像の整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴値 (0,p) の厳密に半安定な対数スキーム（境界付き）に対して、剛体シントミックコホモロジーをどのように定義できるか？
• RQ2 関手的およびフロベニウスとの整合性を達成するために、グローブェ＝クロンネの剛体肥田–カトウ理論にどのような修正が必要か？
• RQ3 局所的リフトに依存しない自然な剛体コホモロジー複体の構成は可能か？
• RQ4 良いコンパクト化が存在する場合に、剛体シントミックコホモロジーとクリスタルシントミックコホモロジーを比較できるか？
• RQ5 固有値 $p^r$、$r \geq -1$ のフロベニウス固有空間上で、剛体およびクリスタルシントミック肥田–カトウ写像は整合的か？

主な発見

• 混合特徴値 (0,p) の完備離散付値環上での厳密に半安定な境界付き対数スキームに対して、剛体シントミックコホモロジーが構成された。
• 対数収束コホモロジーとクリスタルコホモロジーを介した図式を通じて、固有値 $p^r$、$r \geq -1$ のフロベニウス固有空間上で剛体肥田–カトウ写像とクリスタル肥田–カトウ写像の整合性が示された。
• 自然な準同型 $\mathrm{sp}: R\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K) \to R\Gamma_{\mathrm{rig}}(X_0/O_\pi^K)$ が準同型であることが証明され、肥田–カトウ写像の整合性が裏付けられた。
• カップ積と整合する方法に従って剛体シントミックコホモロジーの構成が行われており、[8, §2.4] と同じ手法に従う。
• $R\Gamma_{\mathrm{rig}}((V^\bullet, P^\bullet)/T)$ 上のフロベニウス自己準同型は適切に定義されており、特別なファイバーの剛体コホモロジーにおけるフロベニウスと整合的である。
• $r \geq 0$ に対して、$R\Gamma_{\mathrm{rig}}^{\mathrm{syn}}((X_0,X_0), r, \pi)$ と $R\Gamma_{\mathrm{cr}}^{\mathrm{syn}}(X, r, \pi)$ を定義する図式の間の準同型が確立され、コンパクト化可能な場合の比較が確認された。