[論文レビュー] Comparison-free polyregular functions

Lê Thành Dũng Nguyễn, Camille Noûs+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ピーブルトランスデューサーにおけるヘッド位置同士の比較を排除する、ポリレギュラー関数の厳密な部分クラスである比較フリー多項式関数（cfp）を導入する。このクラスは制限付きピーブルトランスデューサー、置換および二乗作用の帰納的閉包によって特徴づけられ、合成に関しては閉じているが、'map'コンビネータに関しては閉じていない。主な結果として、モルフィズムに基づく解析と1分割分解を用いて、証明された比較フリー版ピーブル最小化定理が得られる。

ABSTRACT

This paper introduces a new automata-theoretic class of string-to-string functions with polynomial growth. Several equivalent definitions are provided: a machine model which is a restricted variant of pebble transducers, and a few inductive definitions that close the class of regular functions under certain operations. Our motivation for studying this class comes from another characterization, which we merely mention here but prove elsewhere, based on a $\lambda$-calculus with a linear type system.As their name suggests, these comparison-free polyregular functions form a subclass of polyregular functions; we prove that the inclusion is strict. We also show that they are incomparable with HDT0L transductions, closed under usual function composition -- but not under a certain ``map'' combinator -- and satisfy a comparison-free version of the pebble minimization theorem.On the broader topic of polynomial growth transductions, we also consider the recently introduced layered streaming string transducers (SSTs), or equivalently k-marble transducers. We prove that a function can be obtained by composing such transducers together if and only if it is polyregular, and that k-layered SSTs (or k-marble transducers) are closed under ``map'' and equivalent to a corresponding notion of (k+1)-layered HDT0L systems.

研究の動機と目的

• ピーブルヘッド位置間の比較を禁止することで、ポリレギュラー関数の新たな部分クラスを定義し、特徴づけること。
• このクラスの機械的・論理的・帰納的定義を同等に確立すること。
• 関数合成に関しての閉包性と、比較フリー版ピーブル最小化定理の証明を示すこと。
• HDT0Lトランスデューサーとの非比較可能性を示し、'map'コンビネータに関しての非閉包性を示すこと。
• レイヤードSST、kマーブルトランスデューサー、およびポリレギュラー関数の間の関係を明確にすること。

提案手法

• ヘッド位置の比較を禁止するピーブルトランスデューサーの制限付き変種を用いてクラスを定義すること。
• 2つの帰納的特徴づけを提示：正則関数の置換に関する閉包性と、制限付き二乗作用との組み合わせ。
• 有限モノイド上のモルフィズムに基づく解析を用いて、構造化された入力における関数の振る舞いを分析すること。
• 先行研究の1分割補題を応用し、入力文字列を分解し、出力長の増加を分析すること。
• 出力長への各成分の寄与を追跡するための補助関数（例：ρJ,k、ef′）を構築すること。
• 矛盾による非閉包性の証明：map(an ↦ an×n) が cfp であると仮定すると、部分文字列における長さの無限増加が生じ、出力サイズの二次的成長と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピーブルヘッド位置間の比較を禁止することで、ポリレギュラー関数の厳密な部分クラスを定義可能か？
• RQ2 比較フリー多項式関数のクラスは、完全なポリレギュラー関数クラスよりも厳密に小さいか？
• RQ3 比較を排除しても、関数合成に関しては閉じたままか？
• RQ4 このクラスに対して、比較フリー版ピーブル最小化定理を証明可能か？
• RQ5 'map' コンビネータは比較フリー多項式関数のクラスに関して閉じているか？

主な発見

• 比較フリー多項式関数のクラスは、map(an ↦ an×n) 関数が属さないことから、ポリレギュラー関数の厳密な部分クラスであることが示された。
• 帰納的定義とトランスデューサー合成を用いて、関数合成に関して閉じていることが確立された。
• map(an ↦ an×n) 関数の長さ増加解析における矛盾を示すことで、'map' コンビネータに関して非閉じていることが証明された。
• 比較フリー版ピーブル最小化定理が成立する：ランク1の任意の cfp 関数は、1つのピーブルと正則成分を用いて表現可能である。
• このクラスは、特定の「置換による合成」操作に関して正則関数の閉包と等価であり、論理的特徴づけが得られた。
• map(an ↦ an×n) 関数は、仮定された分解における部分文字列長の無限増加から、比較フリー多項式関数として表現不可能であることが示された。