[論文レビュー] Comparison Geometry for the Bakry-Emery Ricci Tensor

Guofang Wei, William Wylie|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、潜在関数 $f$ に対して有界性または制御された径方向微分 $\partial_r f$ の条件が課された、滑らかな測度付き空間における平均曲率および体積比較定理を確立する。Bakry-Émery リッチ曲率が下から有界である場合に、Myers の定理、Bishop-Gromov の体積比較、およびスプリッティング定理といった古典的リッチ曲率の結果を Bakry-Émery 框組みに拡張する。$f$ が有界または $\partial_r f$ が下から有界である場合に、このような境界がこれらの拡張に必要であることを示している。

ABSTRACT

For Riemannian manifolds with a measure $(M,g, e^{-f} dvol_g)$ we prove mean curvature and volume comparison results when the $\infty$-Bakry-Emery Ricci tensor is bounded from below and $f$ is bounded or $\partial_r f$ is bounded from below, generalizing the classical ones (i.e. when $f$ is constant). This leads to extensions of many theorems for Ricci curvature bounded below to the Bakry-Emery Ricci tensor. In particular, we give extensions of all of the major comparison theorems when $f$ is bounded. Simple examples show the bound on $f$ is necessary for these results.

研究の動機と目的

• リッチ曲率に対する古典的比較定理（例：Myers の定理、Bishop-Gromov の体積比較、Cheeger-Gromoll のスプリッティング）を、リッチ曲率の範囲を超えて Bakry-Émery リッチテンソルへ拡張すること。
• これらの定理の一般化を可能にする潜在関数 $f$ に対する最小限の条件を同定すること、特に $f$ が有界または $\partial_r f$ が下から有界である場合に注目すること。
• $f$-体積の多項式的成長に関する定理が成り立つために $f$ の有界性が必要であることを、反例を用いて示すこと。
• $f$-ラプラシアンおよび重み付き測度 $e^{-f}d\mathrm{vol}_g$ に対する新しい平均曲率および体積比較推定式を開発すること。

提案手法

• $f$-ラプラシアン $\Delta_f = \Delta - \nabla f \cdot \nabla$ を用いて一般化された平均曲率比較を導出する。ここで $m_f = m - \partial_r f$ は $f$-平均曲率である。
• 曲率 $H$ を持つモデル空間 $M_H^{n+4k}$ に対する $m_f'$ と $m_H'$ の微分不等式を用いて、$f$-平均曲率をモデル空間のそれと比較する。
• 積分因子とGronwall型推定式を用いて、差 $\psi = (m_f - m_H)_+$ を評価する。特に $|f| \leq k$ の下で行う。
• 平均曲率の境界を統合することで体積比較を確立し、$|f| \leq k$ のとき $\mathrm{Vol}_f(B(p,R))/\mathrm{Vol}_f(B(p,r)) \leq \mathrm{Vol}^{n+4k}_H(R)/\mathrm{Vol}^{n+4k}_H(r)$ を得る。
• 径方向断面曲率および剛性条件を分析し、比較定理における等号成立条件を特定する。
• 定数曲率 $H$ を持つモデル空間 $M_H^n$ を用い、$\mathrm{sn}_H(r)$ を $\mathrm{sn}_H'' + H\mathrm{sn}_H = 0$, $\mathrm{sn}_H(0)=0$, $\mathrm{sn}_H'(0)=1$ を満たす解として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率に対する古典的比較定理が、Bakry-Émery リッチテンソルへ拡張されるための $f$ に関する条件は何か？
• RQ2 リッチ曲率 $\mathrm{Ric}_f \geq 0$ かつ $f$ が有界であるとき、$f$-体積の成長定理は一般化可能か？
• RQ3 $f$-体積成長推定式およびスプリッティング定理に対して、$f$ の有界性または $\partial_r f$ の有界性は必要か？
• RQ4 平均曲率比較 $m_f = m - \partial_r f$ は、測地線に沿った $f$ の振る舞いにどのように依存するか？
• RQ5 $|f| \leq k$ かつ $\mathrm{Ric}_f \geq (n-1)H$ のとき、$m_f - m_H$ の鋭い境界は何か？

主な発見

• $\partial_r f \geq -a$ のとき、$f$-平均曲率は $m_f(r) - m_H(r) \leq a$ を満たし、等号成立は径方向断面曲率が $H$ であり、かつ $f(t) = f(p) - at$ である場合に限る。
• $|f| \leq k$ のとき、$m_f(r) \leq m_H^{n+4k}(r)$ が成り立ち、特に $H=0$ のとき $m_f(r) \leq \frac{n+4k-1}{r}$ が成り立ち、多項式的 $f$-体積成長を示す。
• $\mathrm{Ric}_f \geq (n-1)H$ のとき、$\partial_r f \geq -a$ ならば $f$-体積比は $\frac{\mathrm{Vol}_f(B(p,R))}{\mathrm{Vol}_f(B(p,r))} \leq e^{aR} \frac{\mathrm{Vol}_H^n(R)}{\mathrm{Vol}_H^n(r)}$ を満たし、等号成立は曲率が定数 $H$ であり、$\partial_r f \equiv a$ である場合に限る。
• $|f| \leq k$ のとき、体積比は $\frac{\mathrm{Vol}_H^{n+4k}(R)}{\mathrm{Vol}_H^{n+4k}(r)}$ で有界であり、$f$-体積成長が高々 $n+4k$ 次であることを示唆する。
• $H=0$ かつ $|f| \leq k$ のとき、$m_f(r) - \frac{n-1}{r} \leq 4(n-1)e^{4k/(n-1)} \frac{1}{r}$ が成り立ち、ユークリッド的挙動からのずれを定量的に示す。
• 反例により、$f$-有界性が必要であることを示す：$f$ が有界でなければ、$f$-体積成長は多項式的次数を超える可能性があり、スプリッティング定理は成立しない。