[論文レビュー] Comparison of MPS based real time evolution algorithms for Anderson Impurity Models

Daniel Bauernfeind, Markus Aichhorn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Quantum and electron transport phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本研究では、ハイブリダイゼーション関数から導出されたバーストパラメータを用いて、スターベース構造とウィルソンチェーン構造の両方のバースト表現を用いたアンダーソンインピュリティモデルに対して、MPSに基づく時間発展演算子であるTEBDとTDVPを比較した。驚くべきことに、スターベース構造におけるTEBDは、同じ精度を達成する場合に、チェーン構造におけるTDVPよりも最大5倍速く、DMFT計算におけるインピュリティソルバーとして最も効率的な手法であることがわかった。

ABSTRACT

We perform a detailed comparison of two Matrix Product States (MPS) based time evolution algorithms for Anderson Impurity Models. To describe the bath, we use both the star-geometry as well as the commonly employed Wilson chain geometry. For each bath geometry, we use either the Time Dependent Variational Principle (TDVP) or the Time Evolving Block Decimation (TEBD) to perform the time evolution. To apply TEBD for the star-geometry, we use a specially adapted algorithm that can deal with the long-range coupling terms. Analyzing the major sources of errors, one expects them to be proportional to the system size for all algorithms. Surprisingly, we find errors independent of system size except for TEBD in chain geometry. Additionally, we show that the right combination of bath representation and time evolution algorithm is important. While TDVP in chain geometry is a very precise approach, TEBD in star geometry is much faster, such that for a given accuracy it is superior to TDVP in chain geometry. This makes the adapted version of TEBD in star geometry the most efficient method to solve impurity problems.

研究の動機と目的

• アンダーソンインピュリティモデルを解くためのMPSに基づく実時間発展演算子（TEBDおよびTDVP）の精度と効率を評価すること。
• バーストの幾何構造（スター対チェーン）が、誤差スケーリングと計算コストの観点からアルゴリズムの性能に与える影響を調査すること。
• DMFTにおける高精度・低コストなインピュリティソルバー計算に最適な時間発展演算子とバースト表現の組み合わせを特定すること。
• 特に、誤差が系サイズに比例して増大するかどうかという予想とは対照的に、誤差スケーリングの矛盾を解消すること。

提案手法

• バーストはスターベース構造とウィルソンチェーン構造の両方で表現され、バーストパラメータはハイブリダイゼーション関数から導出された。
• 時間発展演算子として、TEBDとTDVPが両方のバースト幾何構造に適用され、スターベース構造における長距離結合を扱うために、スワップゲートを用いた特別に調整されたTEBDアルゴリズムが採用された。
• インピュリティーグリーン関数は、N=59スピンサイトに対してDMRGを用いてMPS基底状態を初期化し、t=15までの実時間発展演算によって計算された。
• 誤差解析は、TDVPをチェーン構造で使用した基準計算（Δt=0.005, tw=10−13）およびTEBDをスターベース構造で使用した基準計算（Δt=0.005, tw=10−14）と比較することで実施された。
• 時間ステップ（Δt）と切り捨て重み（tw）を体系的に変化させることで、誤差と計算時間のトレードオフを定量的に評価した。
• Suzuki-Trotter分解の解析的誤差推定式が、両方の幾何構造に対して導出され、スケーリング挙動の理解が図られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーストの幾何構造は、MPSに基づく実時間発展演算子の精度と計算コストに顕著な影響を及ぼすか？
• RQ2 スターベース構造におけるTEBDが、系サイズに依存しない良好な誤差スケーリングを示すのはなぜか？これは予想とは対照的である。
• RQ3 DMFT応用において、高精度かつ低コストを両立させる時間発展演算子とバースト幾何構造の組み合わせが存在するか？
• RQ4 スターベース構造におけるTEBDとチェーン構造におけるTDVPの誤差は、それぞれ系サイズにどのように依存するか？
• RQ5 スターベース構造向けに適応されたTEBDアルゴリズムは、標準的なTDVPをチェーン構造で使用する場合に比べ、与えられた誤差許容範囲において効率性を上回ることができるか？

主な発見

• 同じ目標誤差を達成する場合、スターベース構造におけるTEBDはチェーン構造におけるTDVPよりも最大5倍短い計算時間で実行され、最も効率的な手法であることがわかった。
• 系サイズに比例する誤差スケーリングを示すのは、チェーン構造におけるTEBDのみであり、他のすべての組み合わせ（スターベース構造におけるTEBDを含む）は、ほぼ系サイズに依存しない誤差を示した。
• スターベース構造におけるTEBDの良好な誤差スケーリングは、バースト状態がすでに単粒子固有状態基底に近いため、主要な誤差寄与項が抑制されていることに起因する。
• チェーン構造におけるTDVPは、与えられたパrameterセットにおいて最小の絶対誤差を達成するが、計算時間の大幅な増加を伴う。
• スワップゲートを用いた適応TEBDアルゴリズムにより、スターベース構造における時間発展演算が追加の計算コストをかけずに効率的に実行可能となった。
• ハイブリダイゼーション関数を正確に表現するため、大きなバーストサイズを必要とするDMFT応用において、スターベース構造におけるTEBDの系サイズに依存しない誤差スケーリングは、極めて重要な利点である。