[論文レビュー] Comparison of Multi-Parametric Programming, Mixed-Integer Programming, Gradient Descent Based, Hybrid Minimum Principle, and the Embedding Approach on Six Published Hybrid Optimal Control Examples

Richard Meyer, Miloš Žefran+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2012

Advanced Control Systems Optimization被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、6つのハイブリッドオプティマルコントロール問題に対して、埋め込み法（embedding approach）と多パrameterプログラミング、混合整数プログラミング（CPLEX）、勾配降下法、ハイブリッド最小原理法を比較している。埋め込み法は、自律的スイッチを除き、性能指標コストが低く抑えられ、解法時間が速く、収束性が優れている。また、モードシーケンスに関する仮定を回避し、組み合わせ的複雑性を伴わずに非線形システムを扱える。

ABSTRACT

In recent years, the embedding approach for solving switched optimal control problems has been developed in a series of papers. However, the embedding approach, which advantageously converts the hybrid optimal control problem to a classical nonlinear optimization, has not been extensively compared to alternative solution approaches. The goal of this paper is thus to compare the embedding approach to multi-parametric programming, mixed-integer programming (e.g., CPLEX), and gradient-descent based methods in the context of five recently published examples: a spring-mass system, moving-target tracking for a mobile robot, two-tank filling, DC-DC boost converter, and skid-steered vehicle. A sixth example, an autonomous switched 11-region linear system, is used to compare a hybrid minimum principle method and traditional numerical programming. For a given performance index for each case, cost and solution times are presented. It is shown that there are numerical advantages of the embedding approach: lower performance index cost (except in some instances when autonomous switches are present), generally faster solution time, and convergence to a solution when other methods may fail. In addition, the embedding method requires no ad hoc assumptions (e.g., predetermined mode sequences) or specialized control models. Theoretical advantages of the embedding approach over the other methods are also described: guaranteed existence of a solution under mild conditions, convexity of the embedded hybrid optimization problem (under the customary conditions on the performance index), solvability with traditional techniques (e.g., sequential quadratic programming) avoiding the combinatorial complexity in the number of modes/discrete variables of mixed-integer programming, applicability to affine nonlinear systems, and no need to explicitly assign discrete/mode variables to autonomous switches.

研究の動機と目的

• ハイブリッドオプティマルコントロール問題を解くための埋め込み法の性能を、既存の手法と比較すること。
• 混合整数プログラミングや勾配ベースの手法といった代替技術と比較した包括的な評価が不足しているという問題を解決すること。
• 解の質、速度、耐障害性の観点から、埋め込み法の数値的および理論的利点を評価すること。
• 事前に定義されたモードシーケンスや離散変数の割り当てを必要とせず、アフィン非線形システムへの適用可能性を検討すること。
• ベンチマーク例および11領域線形系という複雑な系を用いて、手法の妥当性を検証すること

提案手法

• 埋め込み法は、離散的スイッチング変数の連続的緩和を導入することで、スイッチングオプティマルコントロール問題を古典的非線形最適化問題に再定式化する。
• この手法は、標準的な非線形計画法ソルバー（例：逐次二次計画法）を用いて、離散変数に起因する組み合わせ的爆発を回避して埋め込み問題を解く。
• 比較のため、本研究では、同一の6つのベンチマーク問題に対して、多パrameterプログラミング、混合整数プログラミング（CPLEXを用いて）、勾配降下ベースの手法、およびハイブリッド最小原理を適用した。
• 性能は、すべての手法と例題に対して、性能指標のコストと解法時間を用いて評価された。
• 理論的性質として、埋め込み問題の凸性および弱い条件下での解の存在保証が分析された。
• 本手法は、自律的スイッチング系および制御スイッチング系の両方のシステムに適用可能であり、ハイブリッド最小原理の検証のため11領域線形系を用いた

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッドオプティマルコントロール問題において、埋め込み法は多パrameterプログラミング、混合整数プログラミング、勾配降下法と比較して、解のコストと計算時間の点でどのように異なるか？
• RQ2 他の手法が失敗する状況においても、埋め込み法が収束の信頼性において優れているか？
• RQ3 MIPのような組み合わせ的手法と比較して、埋め込み法の理論的利点（例：凸性、解の存在保証）は何か？
• RQ4 モード遷移が制御入力なしに発生する自律的スイッチにおいて、埋め込み法はどのように対処するか？
• RQ5 事前に定義されたモードシーケンスや特別な離散モデルを必要とせず、アフィン非線形システムを解けるか？

主な発見

• 自律的スイッチが存在する場合を除き、埋め込み法は他の手法と比較して性能指標コストが低かった。
• 埋め込み法の解法時間は、混合整数プログラミングおよび勾配降下ベースの手法と比較して一般的に速かった。
• 他の手法が失敗する状況でも、埋め込み法は解に収束することができ、耐障害性に優れていることが示された。
• 事前のモードシーケンスの仮定や、自律的スイッチにおける離散変数の明示的割り当てといった便宜的仮定を必要としなかった。
• 標準的な性能指標条件のもとで、埋め込み問題は凸性を示し、標準的な非線形計画法技術の適用が可能になった。
• 埋め込み法に対して、解の存在および古典的最適化手法による解法可能性に関する理論的保証が確立された。