[論文レビュー] Comparison of prismatic cohomology and derived de Rham cohomology

Shizhang Li, Tong Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$p$-進形式的スキーム上でのprismaticコホロロジーと導来 de Rham コホロロジーの間の比較同型を確立し、Frobenius作用とフィルトレーションを保存する。この結果を応用して、$`\mathcal{O}_K`$ 上の滑らかでコンパクトな形式的スキームの torsion クリスタリンコホロロジーが、$\mathbb{Z}_p(i)$ でねじれたエタールコホロロジーと同型であることを示し、$ei < p-1$ の条件下で、Breuil–Caruso の結果を改善する。この結果は、Fontaine–Laffaille や Caruso の定理を、より広いクラスのスキームおよびコホロロジー理論へと拡張する。

ABSTRACT

We establish a comparison isomorphism between prismatic cohomology and derived de Rham cohomology respecting various structures, such as their Frobenius actions and filtrations. As an application, when $X$ is a proper smooth formal scheme over $\mathcal O_K$ with $K$ being a $p$-adic field, we improve Breuil--Caruso's theory on comparison between torsion crystalline cohomology and torsion étale cohomology.

研究の動機と目的

• proper で滑らかな形式的スキーム $\mathcal{O}_K$ 上で、prismatic コホロロジーと導来 de Rham コホロロジーの間の比較同型を確立すること。
• 半安定の場合を超えて、$\mathcal{O}_K$ 上の滑らかでコンパクトな形式的スキームに対して、torsion クリスタリンコホロロジーと torsion エタールコホロロジーの比較を拡張すること。
• $ei < p-1$ の条件下で、クリスタリンコホロロジー上の $T_{\operatorname{st},\star}$ 関手が、$G_K$-作用を伴うエタールコホロロジーを回復することを示すこと。
• 導来 de Rham および prismatic 形式主義を通じて、フィルトレーション、Frobenius、モノドロミーの役割をコホロロジー構造において明確にすること。

提案手法

• transversal prisms と導来 de Rham 複体を用いて、prismatic コホロロジーと導来 de Rham コホロロジーの間の比較同型を構成すること。
• 導来 de Rham 複体上の Nygaard フィルトレーションと Hodge フィルトレーションを用いて、両方のコホロロジー理論におけるフィルトレーションを比較すること。
• $\mathfrak{S}$-代数の prismatic 構造を介して、導来 de Rham 複体と prismatic コホロロジーの間の Frobenius-不変写像を定義すること。
• 導来 de Rham 複体上の接続を用いてモノドロミー作用素を上げ、それをクリスタリン接続に関連付けること。
• 一般化された Kisin モジュールと torsion Breuil モジュールの理論を用いて、コホロロジーとガロア表現を関連付けること。
• $\widehat{A}_{\operatorname{st}}$-加群と $\beta$-作用における明示的計算を通じて、比較同型が $G_K$-作用と整合することを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius 作用とフィルトレーション構造に関して、prismatic コホロロジーと導来 de Rham コホロロジーの関係はいかなるものか？
• RQ2 半安定の場合を超えて、$\mathcal{O}_K$ 上の滑らかなコンパクトな形式的スキームに対して、クリスタリンコホロロジーとエタールコホロロジーの比較を拡張できるか？
• RQ3 クリスタリンコホロロジー上の $T_{\operatorname{st},\star}$ 関手と、幾何的一般点上のエタールコホロロジーの間の正確な関係は何か？
• RQ4 導来 de Rham コホロロジー上のフィルトレーション（Hodge および Nygaard）は、$H^i_{\operatorname{crys}}(X_n/S_n)$ 上のクリスタリンフィルトレーションとどのように関係するか？
• RQ5 比較同型を通じて、torsion クリスタリンコホロロジー上の $G_K$-作用が、導来 de Rham コホロロジー上の $G_K$-作用と整合するか？

主な発見

• Frobenius作用とフィルトレーションを保存する、自然な比較同型が、prismatic コホロロジーと導来 de Rham コホロロジーの間で確立された。
• この同型は、$T_{\operatorname{st},\star}$-関手が、$\mathbb{Z}_p[G_K]$-加群として、$H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{\eta}}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})(i)$ と自然に同一視されることを示した。
• $ei < p-1$ の条件により、すべての $n$ に対して同型が成り立つことが保証され、Caruso の結果が $n$ に依存する制限を改善した。
• 導来 de Rham コホロロジー上のフィルトレーション（Hodge および Nygaard）が、$H^i_{\operatorname{crys}}(X_n/S_n)$ 上のクリスタリンフィルトレーションと Breuil–Kisin フィルトレーションに対応することが示された。
• 写像 $\alpha: \mathcal{M} \to \mathcal{M}^\nabla$ は、フィルトレーションと Frobenius を保存する $S$-加群の同型であり、$T_S(\mathcal{M}) \simeq T_{\operatorname{st},\star}(\mathcal{M})$ を証明した。
• $\widehat{A}_{\operatorname{st}}$ 内の $\beta$-作用を通じて $T_S(\mathcal{M})$ に定義される $G_K$-作用が、$T_{\operatorname{st},\star}(\mathcal{M})$ の標準的 $G_K$-作用と一致し、整合性が確認された。