[論文レビュー] Comparison of Spearman's rho and Kendall's tau in Normal and Contaminated Normal Models

Weichao Xu, Yunhe Hou+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 40被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、2次元正規分布および混合正規分布モデル下でのスピアマンのrhoの分散およびスピアマンのrhoとケンドールのtauの共分散について、正確な解析的式を提供する。2つの順位相関係数の間には、バイアス、分散、平均二乗誤差、漸近的相対効率において顕著な差が存在し、それらの等価性を仮定する一般的な考え方に疑問を呈するとともに、ピアソンの積動相関係数が正規性の欠如や外れ値の影響を受ける場合の選択肢としての指針を提示する。

ABSTRACT

This paper analyzes the performances of the Spearman's rho (SR) and Kendall's tau (KT) with respect to samples drawn from bivariate normal and bivariate contaminated normal populations. The exact analytical formulae of the variance of SR and the covariance between SR and KT are obtained based on the Childs's reduction formula for the quadrivariate normal positive orthant probabilities. Close form expressions with respect to the expectations of SR and KT are established under the bivariate contaminated normal models. The bias, mean square error (MSE) and asymptotic relative efficiency (ARE) of the three estimators based on SR and KT to the Pearson's product moment correlation coefficient (PPMCC) are investigated in both the normal and contaminated normal models. Theoretical and simulation results suggest that, contrary to the opinion of equivalence between SR and KT in some literature, the behaviors of SR and KT are strikingly different in the aspects of bias effect, variance, mean square error, and asymptotic relative efficiency. The new findings revealed in this work provide not only deeper insights into the two most widely used rank based correlation coefficients, but also a guidance for choosing which one to use under the circumstances where the PPMCC fails to apply.

研究の動機と目的

• 2次元正規分布および混合正規分布下でのスピアマンのrho（SR）とケンドールのtau（KT）の統計的性質を体系的に比較すること。
• 非パラメトリック相関推定におけるSRとKTの等価性について、文献に見られる矛盾を解消すること。
• SRの分散およびSRとKTの共分散について、既存の近似を改善する、正確な解析的式を導出すること。
• 正規分布および混合正規分布モデル下で、SRおよびKTに基づく推定量のバイアス、平均二乗誤差（MSE）、漸近的相対効率（ARE）をピアソンの積動相関係数（PPMCC）と比較して評価すること。
• 順序尺度データ、単調な非線形性、インパルス的外れ値の影響を受ける場合に、PPMCCが不適切となる状況におけるSRとKTの選択に関する実用的指針を提供すること。

提案手法

• 四変量正規分布の第1象限確率に対するChildsの還元公式を用いた、スピアマンのrhoの分散の正確な解析的式の導出。
• スピアマンのrhoとケンドールのtauの共分散の解析的導出。これにより、先行文献に見られたわずかな誤りを是正した。
• 2次元混合正規モデル下でのSRおよびKTの期待値の閉形式表現の確立。外れ値の割合および混合成分内の相関係数を組み込んだもの。
• Sheppardの定理を用いて、順位統計量の期待値を相関係数の逆正弦変換で表現すること。
• 大標本サイズにおける漸近的解析により、SRおよびKT推定量のバイアス、分散、MSE、および漸近的相対効率（ARE）の式を導出すること。
• 特に外れ値レベルが異なる混合正規モデル下での理論的発見のシミュレーションによる検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元正規分布下で、スピアマンのrhoとケンドールのtauのバイアス、分散、平均二乗誤差、および漸近的相対効率はどのように比較されるか？
• RQ2 2次元正規分布モデル下で、スピアマンのrhoの分散およびスピアマンのrhoとケンドールのtauの共分散について、正確な解析的式は何か？
• RQ3 2次元混合正規モデル下で、スピアマンのrhoとケンドールのtauの期待値は、外れ値の混入度が増加するにつれてどのように変化するか？
• RQ4 正規分布および混合正規分布の両設定下で、SRおよびKTに基づく推定量の漸近的相対効率（ARE）は、ピアソンの積動相関係数（PPMCC）に対してそれぞれどのように評価されるか？
• RQ5 理論的発見は、非パラメトリック相関分析におけるスピアマンのrhoとケンドールのtauの等価性について広く信じられている考え方に、どの程度疑問を呈するか？

主な発見

• Childsの還元公式を用いた正確な閉形式によるスピアマンのrhoの分散の導出により、10桁の小数まで高精度に表を作成可能（表I）となり、従来の級数近似を上回る。
• スピアマンのrhoとケンドールのtauの共分散が解析的に導出され、先行文献に記載されたわずかな誤りが是正された。
• 混合正規モデル下では、スピアマンのrhoおよびケンドールのtauの期待値が閉形式で表現され、外れ値の割合εおよび混在成分内の相関係数に依存することが示された。
• 理論的およびシミュレーション結果により、スピアマンのrhoとケンドールのtauはバイアス、分散、平均二乗誤差、漸近的相対効率において顕著に異なる挙動を示し、等価性の仮定に反する。
• KTのSRに対する漸近的相対効率（ARE）は、多くの状況で1より高いことが判明し、正規分布および混合正規分布モデルの両方でKTがSRよりもより効率的であることを示唆している。
• 本研究の発見は、データ種別、非線形性、外れ値による汚染が生じる実応用においてピアソン相関が不適切となる状況でのSRとKTの選択に、原則的根拠を提供する。