[論文レビュー] Comparison of Steklov eigenvalues on a domain and Laplacian eigenvalues on its boundary in Riemannian manifolds

Changwei Xiong|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体における曲率および第二基本形式の制約のもとで、領域上のスティルチェフ固有値とその境界上のラプラシアン固有値の平方根の間の定量的評価を確立する。Pohozaev型の恒等式と最小最大化変分原理を用いて、非正の断面曲率およびホロ凸境界の下で $|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}| \leq \max\{n/2, 1\} \kappa_+$ を証明し、正の曲率の下でも類似の評価を得ることで、スティルチェフ固有値に対するWeyl型の上界が得られる。

ABSTRACT

We prove that in Riemannian manifolds the $k$-th Steklov eigenvalue on a domain and the square root of the $k$-th Laplacian eigenvalue on its boundary can be mutually controlled in terms of the maximum principal curvature of the boundary under sectional curvature conditions. As an application, we derive a Weyl-type upper bound for Steklov eigenvalues. A Pohozaev-type identity for harmonic functions on the domain and the min-max variational characterization of both eigenvalues are important ingredients.

研究の動機と目的

• リーマン多様体における領域上のスティルチェフ固有値とその境界上のラプラシアン固有値の平方根との間の相互制御を確立すること。
• ユークリッド空間における先行結果を、曲率および第二基本形式の制約を伴う一般のリーマン多様体へと拡張すること。
• 曲率および境界の幾何学を用いて、スティルチェフ固有値に対するWeyl型の上界を導出すること。
• 明示的な誤差制御を伴う、曲がった多様体への漸近的比較 $\sigma_j \sim \sqrt{\lambda_j}$ の一般化。

提案手法

• 境界付近に台を持つリプシッツベクトル場 $F$ を用いて、領域上で調和関数について $\Delta u \cdot \langle F, \nabla u \rangle = 0$ を $\Omega$ 上で積分することで、Pohozaev型の恒等式を導出する。
• 境界の幾何に適合したベクトル場 $F$ を構成し、境界積分 $\int_\Sigma (\partial u / \partial \nu)^2 d\sigma$ と $\int_\Sigma |\nabla_\Sigma u|^2 d\sigma$ を関連付ける。
• スティルチェフ固有値およびラプラシアン固有値の最小最大化変分的特徴づけを用いて、境界上のレイリー商を比較する。
• ガウスの公式を用いて、境界のリッチ曲率を周囲いの断面曲率および第二基本形式に関連付ける。
• 曲率条件 $-a \leq K_M \leq 0$ および $II \geq \sqrt{a}$、および $0 < K_M \leq a$ および $II \leq \kappa_+$ を課し、固有値の差を制御する。
• コンact多様体上のラプラシアン固有値に対するWeyl型推定を、リッチ曲率の下界が与えられた場合に適用し、スティルチェフ固有値の漸近的評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体における領域上のスティルチェフ固有値は、曲率制約のもとでその境界上のラプラシアン固有値の平方根で評価可能か？
• RQ2 境界の第二基本形式は、$\sigma_j$ と $\sqrt{\lambda_j}$ の間のスペクトルギャップにどのように寄与するか？
• RQ3 一般のリーマン多様体において、固有値ギャップ $|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}|$ は曲率および境界の幾何にどのように依存するか？
• RQ4 曲率および境界の幾何から、スティルチェフ固有値に対するWeyl型の漸近的上界を導出可能か？
• RQ5 ユークリッド空間における結果は、双曲的および球面幾何へとどのように拡張可能か？

主な発見

• 非正の曲率 $-a \leq K_M \leq 0$ および $II \geq \sqrt{a}$ の下で、任意の $j \in \mathbb{N}$ に対して $\lambda_j \leq \sigma_j^2 + n\kappa_+\sigma_j$ が成り立つ。ここで $\kappa_+$ は第二基本形式の上界である。
• $0 < K_M \leq a$ および $II \leq \kappa_+$ の下で、$\lambda_j \leq \sigma_j^2 + n\sqrt{a + \kappa_+^2}\sigma_j$ が確立される。
• 非正曲率の下で、スペクトルギャップは $|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}| \leq \max\{n/2, 1\}\kappa_+$ を満たす。
• 正曲率の下で、$|\sigma_j - \sqrt{\lambda_j}| \leq \max\{n/2, 1\}\sqrt{a + \kappa_+^2}$ が成り立つ。
• 非正曲率およびホロ凸境界の下で、スティルチェフ固有値に対するWeyl型の上界 $\sigma_j \leq \kappa_+ + C_n \left(\frac{j}{|\Sigma|}\right)^{1/n}$ が導出される。
• 漸近的評価における指数 $1/n$ は最適であり、既知のWeyl漸近挙動 $\sigma_j \sim 2\pi \left(\frac{j}{\omega_n |\Sigma|}\right)^{1/n}$ と一致する。