[論文レビュー] Comparison of Sums of independent Identically Distributed Random Variables

Stephen Montgomery-Smith|ArXiv.org|Oct 7, 1993

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. バナッハ空間値確率変数に対して、すべての $ 1 \leq j \leq k $ に対して $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c_1 \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ を満たす普遍定数 $ c_1 = 3 $ および $ c_2 = 10 $ を確立する。これは、2つのi.i.d.変数に対して知られている不等式を一般化したものである。証明は $ t $-濃度点とバナッハ空間における幾何的考察を用い、最大不等式および重み付き和への拡張をもたらす。

ABSTRACT

Let S_k be the k-th partial sum of Banach space valued independent identically distributed random variables. In this paper, we compare the tail distribution of ||S_k|| with that of ||S_j||, and deduce some tail distribution maximal inequalities. Theorem: There is universal constant c such that for j < k Pr(||S_j|| > t) <= c Pr(||S_k|| > t/c).

研究の動機と目的

• 2つのi.i.d.確率変数に対する既知の不等式を、バナッハ空間内での任意個数のi.i.d.確率変数の和へ一般化すること。
• すべての $ 1 \leq j \leq k $ に対して $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c_1 \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ を満たす普遍定数 $ c_1 $ および $ c_2 $ を確立すること。
• 主結果を用いて部分和の上界の最大不等式を導出すること。
• 係数 $ \alpha_i \in [-1,1] $ を持つ重み付き和へこのような不等式が拡張可能かどうかを調査し、修正された定数を用いてそれが成り立つことを示すこと。

提案手法

• 点 $ x $ が $ \Pr(\|X - x\| \leq t) > 2/3 $ を満たすとき、$ x $ を $ t $-濃度点と定義する。
• もし $ x, y, z $ がそれぞれ $ X, Y, X+Y $ の $ t $-濃度点であれば、和集合の上限と三角不等式を用いて $ \|x + y - z\| \leq 3t $ を示す。
• 数学的帰納法と $ t $-濃度点の構造を用いて、部分和の濃度点 $ s_j $ に対して $ \|k s_j - j s_k\| \leq 3(k+j)t $ を導出する。
• 部分和 $ S_{k-j} $ の尾の挙動に基づく3通りのケースを分析し、独立性と濃度の性質を用いて $ \Pr(\|S_j\| > t) $ を $ \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ の項で上界で抑え込む。
• 主不等式を応用して、[K–W]の和の上界に関する結果を用いて、$ \sup_{1 \leq j \leq k} \|S_j\| $ に対する最大不等式を導出する。
• 係数を分解し、主不等式と最大不等式を適用することで、$ |\alpha_i| \leq 1 $ を満たす重み付き和 $ \sum \alpha_i X_i $ への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 実数値確率変数に対して成り立つ不等式 $ \Pr(\|X_1\| > t) \leq 5 \Pr(\|X_1 + X_2\| > t/2) $ は、$ k \geq 3 $ 個のi.i.d.確率変数がバナッハ空間に値を取る場合に一般化可能か？
• RQ2 すべての $ 1 \leq j \leq k $ およびi.i.d. バナッハ空間値確率変数に対して、$ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c_1 \Pr(\|S_k\| > t/c_2) $ を満たす普遍定数 $ c_1 $ および $ c_2 $ は何か？
• RQ3 係数 $ \alpha_i \in [-1,1] $ を持つ重み付き和 $ \sum \alpha_i X_i $ に対しても、同様の尾比較不等式を拡張可能か？
• RQ4 係数 $ \alpha_i $ がすべて等しくない場合にも、$ \Pr(\|S_j\| > t) \leq c \Pr(\|S_k\| > t/c) $ という形の不等式が成り立つか？
• RQ5 このような不等式の限界は何か？また、漸近的に改善可能か？

主な発見

• 本稿は、すべての $ 1 \leq j \leq k $ に対して $ \Pr(\|S_j\| > t) \leq 3 \Pr(\|S_k\| > t/10) $ を満たすことを証明し、i.i.d. バナッハ空間値確率変数に対して普遍定数 $ c_1 = 3 $、$ c_2 = 10 $ を得た。
• 例として $ X_1 = 1 $ となる確率が小さく、それ以外は 0 である場合を用いることで、$ c_2 > 1 $ が普遍的に必要であることが示され、漸近的改善は不可能であることが判明した。
• ラターラは後に定数を $ c_1 = 4, c_2 = 5 $ または $ c_1 = 2, c_2 = 7 $ に改善し、$ j=1, k=2 $ の場合に $ \Pr(\|X_1\| > t) \leq 2 \Pr(\|X_1 + X_2\| > 2t/3) $ を示したが、これは最適である。
• 最大不等式が導出された：$ \Pr(\sup_{1 \leq j \leq k} \|S_j\| > t) \leq c \Pr(\|S_k\| > t/c) $、ここで $ c = 4 $ または $ c = 6 $、あるいは $ c = 2 $ または $ c = 8 $ であり、バージョンに応じて異なる。
• 係数 $ |\alpha_i| \leq 1 $ を持つ重み付き和に対して、$ \Pr(\|\sum \alpha_i X_i\| > t) \leq c \Pr(\|\sum X_i\| > t/c) $ が普遍定数 $ c $ を用いて成り立つ。これは係数の分解と主結果を用いて証明された。
• 本稿は、一般の係数 $ \alpha_i $ に対して不等式を拡張できないことを示した。$ \alpha_i = 1/M^{1/3} $ となる反例により、非一様な重みでは不等式が成り立たないことが示された。