[論文レビュー] Comparison of the algebraic and the symplectic Gromov-Witten invariants

Jun Li, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、代数的Gromov-Witten不変量とシンプレクティックGromov-Witten不変量の比較を確立する。代数的幾何における安定写像のモジュライ空間に対して仮想基本クラスを構成し、適切な条件下でそれがシンプレクティック仮想サイクルと一致することを証明する。主な結果は、被覆多様体が半正定であるとき、代数的およびシンプレクティック不変量が一致することであり、Gromov-Witten理論の二大アプローチを統合する。

ABSTRACT

We show that the algebraic and the symplectic GW-inivariants of smooth projective varieties are equivalent.

研究の動機と目的

• 異なる幾何的枠組みに基づいて定義される代数的およびシンプレクティックGromov-Witten不変量の間の厳密な比較を確立すること。
• 期待次元と実際の次元が一致しない場合に生じるモジュライ空間の次元の不一致という基礎的問題を、期待次元と一致しない場合に仮想基本クラスを構成することで解決すること。
• 代数的（安定写像のモジュライを介して）およびシンプレクティック（擬全純曲線を介して）の二つの異なるGromov-Witten理論のアプローチを、被覆多様体が半正定である条件下でそれらの不変量が一致することを示すことによって統一すること。
• インシデント条件に依存しない、評価写像とモジュライ空間へのプッシュフォワードを用いた、Gromov-Witten不変量を定義するコhomological枠組みを提供すること。
• 代数的設定における仮想サイクルがシンプレクティック仮想サイクルと一致することを証明することで、代数的構成がシンプレクティック構成の正しい一般化であることを裏付けること。

提案手法

• 滑らかで射影的な多様体 $X$ とクラス $A$ に対して、$n$-点付きの genus $g$ 曲線から $X$ への正則写像の空間のコンパクト化として、モジュライ空間 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}(X,A)$ を構成する。
• $X^n$ および $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}$ からのコhomology類の引き戻しを用いて、仮想基本クラス $[\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ への積分によってGromov-Witten不変量を定義する。
• 安定な準同型と変形理論を用いて、モジュライ空間が期待次元を持たない場合の代替として機能する仮想サイクルを定義する。
• ベクトルバンドル上の横断的切断を構成するための摂動技術を適用し、仮想サイクルが選択に依存せず、一意に定まることを保証する。
• 解析的チャートとコーン構成を用いた、モジュライ空間の開被覆上でのピッチング補題を適用し、仮想サイクルを表すグローバルな分岐的現在 $Q_i$ を定義する。
• 一般なバンドル $\mathcal{E}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ の切断を用いた摂動議論を通じて、代数的仮想サイクル $[\mathfrak{M}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ がシンプレクティック仮想サイクルと一致することを示し、等式 $[\mathfrak{M}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}} = e[\Phi: \mathbf{B} \to \mathbf{E}]$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的およびシンプレクティックGromov-Witten不変量がどのような条件下で一致するか？
• RQ2 代数的安定写像のモジュライ空間に、シンプレクティック仮想サイクルと一致する仮想基本クラスを導入できるか？
• RQ3 被覆多様体が半正定であるとき、代数的幾何における仮想サイクル構成とシンプレクティックトポロジーにおけるそれとが同値であるか？
• RQ4 安定写像のモジュライ空間における次元の不一致は、どのようにして一貫した不変量を定義するために是正されるか？
• RQ5 代数的幾何で定義された仮想サイクルは、シンプレクティック設定における擬全純曲線を用いた構成と一致するか？

主な発見

• 被覆多様体 $X$ が半正定なシンプレクティック多様体であると仮定すると、安定写像を用いて構成された代数的仮想基本クラス $[\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ は、シンプレクティック仮想サイクルと一致する。
• $X$ が半正定であるとき、代数的モジュライ空間を用いて定義されたGromov-Witten不変量は、擬全純写像を用いて定義されたものと等しい。
• 接空間と変形障害の間の図式の可換性により、仮想サイクルの構成が選択に依存しないことが示された。
• モジュライ空間の開被覆上に構築された分岐的現在 $Q_i$ は、異なるチャート間で整合的に貼り合わさり、グローバルな仮想サイクルを定義する。
• 仮想サイクルはバンドル $\mathcal{G} = \mathcal{E} \oplus \mathcal{F}$ の一般な切断の零点集合として表され、これは障害バンドルのエーラー類と一致し、不変性が確認された。
• 代数的仮想サイクル $[\mathfrak{M}_{g,n}(X,A)]^{\text{vir}}$ がシンプレクティック仮想サイクル $e[\Phi: \mathbf{B} \to \mathbf{E}]$ と等しいことを示すことで、比較定理が証明され、二つの理論が統合された。