[論文レビュー] Comparison of the Categories of Motives defined by Voevodsky and Nori

Daniel Harrer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヴォエヴォズキーの幾何的モチーフからノリの混合モチーフの導来圏への三角分解されたテンソル関手を構成し、ベティ実現と両立する。正則スキーム上の二大モチーフ理論の比較を確立し、体またはデデキンド整域の係数条件下で、ニスネヴィッチ被覆、有限アサイクリック図式、多価写像、複素代数幾何におけるコhomological cell構造を用いて、両者の整合性を証明する。

ABSTRACT

In this thesis we compare V. Voevodsky's geometric motives to the derived category of M. Nori's abelian category of mixed motives by constructing a triangulated tensor functor between them. It will be compatible with the Betti realizations on both sides. We allow an arbitrary noetherian ring of coefficients, but require it to be a field or a Dedekind domain for the tensor structure on derived Nori motives to exist. There are three key ingredients: we present a theory of Nisnevich covers on finite acyclic diagrams of finite correspondences, explain, following D. Rydh, how to interpret finite correspondences as multivalued morphisms and elaborate on M. Nori's cohomological cell structures. For the first two, we will be working over an arbitrary regular scheme, but the last one will require that we restrict ourselves to a subfield of the complex numbers. On the way we also show that smooth commutative group schemes over a normal base automatically admit transfers, generalizing a result by M. Spiess and T. Szamuely.

研究の動機と目的

• ヴォエヴォズキーの幾何的モチーフとノリの導来圏の混合モチーフとの間の比較を確立すること。
• 両者のカテゴリ間の三角分解テンソル関手を構成し、ベティ実現を尊重すること。
• リドの結果を用いて、有限対応の理論を多価写像として体系的に拡張すること。
• 複素代数幾何の文脈において、ノリのコhomological cell構造を適用すること。
• 正則基底上の滑らかで可換な群スキームへの移行の一般化を達成すること。

提案手法

• 正則スキーム上の有限対応の有限アサイクリック図式におけるニスネヴィッチ被覆の理論を構築すること。
• D. リドの枠組みに従い、有限対応を多価写像として解釈すること。
• ノリのコhomological cell構造を用いて、混合モチーフの導来圏を分析すること。
• ヴォエヴォズキーのモチーフとノリのモチーフの導来圏との間で、三角分解テンソル関手を構成すること。
• 実現関手の自然変換を通じて、ベティ実現との両立を保証すること。
• 複素数体の部分体に制限することで、ノリのコhomological cell構造の利用を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴォエヴォズキーの幾何的モチーフは、どのようにノリの導来圏の混合モチーフと比較できるか？
• RQ2 導来ノリモチーフにテンソル構造が存在するための係数環の条件は何か？
• RQ3 ニスネヴィッチ位相の文脈において、有限対応を体系的に多価写像として解釈できるか？
• RQ4 ノリの枠組みにおけるコhomological cell構造は、モチーフの三角分解構造とどのように相互作用するか？
• RQ5 正則基底上の滑らかで可換な群スキームは、以前の結果を一般化して自動的に移行をもつのか？

主な発見

• ヴォエヴォズキーのモチーフからノリの混合モチーフの導来圏への三角分解テンソル関手が構成された。
• 関手は両側のベティ実現と両立しており、古典的コホモロジーと整合性を保つ。
• 係数環が体またはデデキンド整域である限り、導来ノリモチーフにテンソル構造が存在する。
• 有限対応は多価写像として解釈され、リドの枠組みがアサイクリック図式へ拡張された。
• 正則基底上の滑らかで可換な群スキームは移行をもつ。これはスピエスとツァムゥリーの結果を一般化する。
• ノリ理論におけるコhomological cell構造が複素幾何の文脈で応用され、比較の根拠を支えた。