[論文レビュー] Comparison of The Speed of Convergence Among Various Iterative Schemes

Vatan Karakaya, Faik Gürsoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における収縮写像の不動点を近似する反復スキームの収束速度を比較する。収縮写像に対して、CR反復スキームがKarahan-Ozdemir三段階スキームよりも速く収束することを証明し、写像の摂動に対する不動点のデータ依存性結果を確立する。

ABSTRACT

We show that iterative scheme due to Karahan and Özdemir (2013) can be used to approximate fixed point of contraction mappings. Furthermore, we prove that CR iterative scheme converges faster than the iterative scheme due to Karahan and Özdemir (2013) for the class contraction mappings. Finally, we prove a data dependence result for contraction mappings by employing iterative scheme due to Karahan and Özdemir (2013).

研究の動機と目的

• 収縮写像に対するKarahan-Ozdemir三段階反復スキームの収束挙動を分析すること。
• 収縮写像に対して、CR反復スキームとKarahan-Ozdemirスキームの収束速度を比較すること。
• 写像の摂動下で、Karahan-Ozdemir反復スキームを用いた不動点のデータ依存性結果を確立すること。
• バナッハ空間における不動点近似において、CR反復が速くかつより安定であるという理論的証拠を提供すること。

提案手法

• Karahan-Ozdemir反復スキームは、[0,1] 内の三つのパラメータ α₁ⁿ, α₂ⁿ, α₃ⁿ を用いた三段階の再帰的構造で定義され、バナッハ空間の部分集合 S 上の自己写像 T に適用される。
• CR反復スキームは、類似したパラメータ制約を持つ三段階の再帰的構造を用いて分析され、中間点は T の像と現在の反復点の凸結合によって更新される。
• 収束解析は、||Tx - Ty|| ≤ δ||x - y|| で表される収縮条件（δ ∈ (0,1)）を用いて行われ、一意な不動点への収束を保証する。
• 収束速度は漸近的同値性と誤差境界を用いて比較され、CR反復がKarahan-Ozdemirスキームよりも速く収束することが示される。
• データ依存性は、||T̃x - Tx|| ≤ ε を満たす摂動写像 T̃ を導入し、T と T̃ の不動点間の距離の境界を導出することによって研究される。
• 三角不等式および収縮性の性質を用いた不等式が導かれ、摂動下での不動点誤差に対して ||x* - u*|| ≤ 5ε/(1 - δ) の境界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Karahan-Ozdemir三段階反復スキームは、収縮写像の不動点に収束するか？
• RQ2 収縮写像に対して、CR反復スキームの収束速度はKarahan-Ozdemirスキームと比べてどうか？
• RQ3 Karahan-Ozdemirスキームを用いた場合、写像の摂動下での不動点のデータ依存性挙動はいかなるものか？
• RQ4 CR反復スキームが、収束速度の観点からKarahan-Ozdemirスキームと同等であり、かつより速いことを証明できるか？
• RQ5 写像が ε だけ摂動された場合の不動点誤差の定量的境界は何か？

主な発見

• 収縮写像 T に対して、||Tx - Ty|| ≤ δ||x - y|| を満たす（δ ∈ (0,1)）場合、Karahan-Ozdemir三段階反復スキームは一意な不動点に収束する。
• CR反復スキームは、誤差列の漸近的比較によって示されるように、すべての収縮写像に対してKarahan-Ozdemirスキームよりも速く収束する。
• CRスキームは、Karahan-Ozdemirスキームと漸近的に同値であることが証明されているが、収束速度は厳密に速い。
• 摂動 ||T̃x - Tx|| ≤ ε の下で、摂動写像 T̃ の不動点は ||x* - u*|| ≤ 5ε/(1 - δ) を満たし、これによりデータ依存性結果が確立される。
• 摂動下でのKarahan-Ozdemirスキームの収束境界は、||pₙ - p̃ₙ|| ≤ [1 - αₙ¹(1 - δ)]||pₙ₋₁ - p̃ₙ₋₁|| + αₙ¹(1 - δ)(5ε)/(1 - δ) として導出され、最終的な誤差境界に至る。
• 解析により、不動点誤差が 5ε/(1 - δ) で一様に有界であることが確認され、これは反復インデックスに依存せず、ε と δ のみに依存する。