[論文レビュー] Comparison of Weibull Tail-Coefficient Estimators

Laurent Gardès, Stéphane Girard|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、極値順序統計の対数間隔に基づき、Weibull尾係数 θ の統一された推定量族を提案し、第二階層条件の下でその漸近正規性を確立する。主な貢献は、漸近平均二乗誤差（AMSE）の比較的分析であり、特にバイアスを最小化する族の一部—特に [12] の推定量よりも優れる—が、第二階層パラメータ ρ が 0 に近い場合に顕著に優れていることを示している。

ABSTRACT

We address the problem of estimating the Weibull tail-coefficient which is the regular variation exponent of the inverse failure rate function. We propose a family of estimators of this coefficient and an associate extreme quantile estimator. Their asymptotic normality are established and their asymptotic mean-square errors are compared. The results are illustrated on some finite sample situations.

研究の動機と目的

• 逆ハザード関数の正則変動を特徴付ける Weibull 尾係数 θ の一般推定量族の開発。
• 第二階層正則変動条件の下で、提案された推定量の漸近正規性の確立。
• 族内の異なる推定量の漸近平均二乗誤差（AMSE）を比較し、最適選択を同定。
• 尾係数推定量に基づく関連する極値分位数推定量の導出とその漸近的性質の確立。
• 弱い正則性条件の下で、提案された族が [12] の推定量を包含し、それを改善することの証明。

提案手法

• 推定量族を $\hat{\theta}_n = \frac{1}{T_n} \frac{1}{k_n} \sum_{i=1}^{k_n} (\log X_{n-i+1,n} - \log X_{n-k_n+1,n})$ として定義し、$T_n$ と $k_n$ を調整するためのシーケンスとする。
• 収束速度を制御するため、漸近的正則変動条件（A.2）を用い、定数 $\rho \leq 0$ とゆっくり変動する関数 $\ell$ を含む。
• 漸近展開 $k_n^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta)$ を導出し、バイアスが $b(\log(n/k_n))$ と $\theta a_n$ に起因することを示す。ここで $a_n = \mu_0(\log(n/k_n))/T_n - 1$ である。
• 条件 $k_n \to \infty$, $k_n/n \to 0$, $T_n \log(n/k_n) \to 1$, および $k_n^{1/2} b(\log(n/k_n)) \to \lambda$ の下で、対数間隔差分の中心極限定理を用いて $\hat{\theta}_n$ の漸近正規性を確立する。
• 極値分位数推定量 $\hat{x}_{p_n} = X_{n-k_n+1,n} \tau_n^{\hat{\theta}_n}$ を $\tau_n = \log(1/p_n)/\log(n/k_n)$ で定義し、[10] の結果を用いてその漸近正規性を証明する。
• バイアス項 $\theta a_n$ と $b(\log(n/k_n))$ の分析を通じて、AMSE を推定量間で比較し、$a_n$ と $b$ の相互作用が AMSE に与える影響を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された Weibull 尾係数推定量族は、既存の推定量と比較して漸近平均二乗誤差（AMSE）においてどのように異なるか？
• RQ2 提案された推定量の漸近正規性はどのような条件下で確立され、バイアスと分散の成分は性能にどのように影響するか？
• RQ3 提案された推定量族の中で AMSE を最小化するメンバーはどれか？また、第二階層パラメータ $\rho$ に依存するか？
• RQ4 尾係数推定量から導出された極値分位数推定量は漸近的に正規分布に従うと示せるか？その条件は何か？
• RQ5 $T_n$ と $k_n$ の選択は、$b(\log(n/k_n))$ が非ゼロまたはゆっくり変動する場合に、推定量のバイアスと効率性にどのように影響するか？

主な発見

• 第二階層条件（A.2）の下で $\hat{\theta}_n$ の漸近正規性が確立され、$k_n^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta - b(\log(n/k_n)) - \theta a_n) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \theta^2)$ が成り立つ。
• AMSE は $AMSE = (\theta a_n + b(\log(n/k_n)))^2 + \theta^2 / k_n$ で与えられ、族のすべてのメンバーが同じ分散を持つが、バイアスは異なる。
• 推定量 $\hat{\theta}_n^{(3)}$（$T_n = \mu_0(\log(n/k_n))$ の場合）は、$b$ が最終的に非正である場合、$\hat{\theta}_n^{(1)}$ よりも低い AMSE を示す。これは負のバイアス補正によるものである。
• 推定量 $\hat{\theta}_n^{(2)}$（[12] からのもの）は、従来の知られていたよりも弱い条件下で漸近正規性を示すことが示され、明示的なバイアス項を用いて他の推定量と AMSE を比較した。
• もし $b$ が最終的に非ゼロで正則変動的である場合、$b$ が正であれば $\hat{\theta}_n^{(2)}$ の AMSE は $\hat{\theta}_n^{(1)}$ よりも高いが、$b$ が負であれば低い。
• 極値分位数推定量 $\hat{x}_{p_n}$ は漸近的に正規分布に従う。その極限分布は $\hat{\theta}_n$ に依存し、条件 $\log(\tau_n) \log(n/k_n) \to \infty$ が満たされれば成立する。これは $p_n < 1/n$ の場合に成立する。