[論文レビュー] Comparison of Wiener index and Zagreb eccentricity indices

Kexiang Xu, Kinkar Chandra Das+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Graph theory and applications参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、木、直径2のグラフ、普遍的径路的グラフ、およびカルテシアン積を含むさまざまなグラフクラスにおいて、ウィーナー指数（W）、第一ゾルブ・エクシセントリティ指数（E₁）、第二ゾルブ・エクシセントリティ指数（E₂）を比較する。木では直径が小さい場合にW ≥ E₂が成り立ち、直径が大きい場合にはW < E₁が成り立つ。カルテシアン積では、平均伝搬時間および直径に関する特定の条件下でW > E₁およびW > E₂が成り立つ。

ABSTRACT

The first and the second Zagreb eccentricity index of a graph $G$ are defined as $E_1(G)=\sum_{v\in V(G)}\varepsilon_{G}(v)^{2}$ and $E_2(G)=\sum_{uv\in E(G)}\varepsilon_{G}(u)\varepsilon_{G}(v)$, respectively, where $\varepsilon_G(v)$ is the eccentricity of a vertex $v$. In this paper the invariants $E_1$, $E_2$, and the Wiener index are compared on graphs with diameter $2$, on trees, on a newly introduced class of universally diametrical graphs, and on Cartesian product graphs. In particular, if the diameter of a tree $T$ is not too big, then $W(T) \ge E_2(T)$ holds, and if the diameter of $T$ is large, then $W(T) &lt; E_1(T)$ holds.

研究の動機と目的

• 異なるグラフクラスにおけるウィーナー指数（W）、第一ゾルブ・エクシセントリティ指数（E₁）、第二ゾルブ・エクシセントリティ指数（E₂）の比較を行う。
• 特に直径が異なる木において、W ≥ E₁ または W ≥ E₂ が成り立つ条件を特定する。
• すべての頂点が径路的であるような新しいクラス、普遍的径路的グラフを導入し、その分析を行う。
• グラフのカルテシアン積演算におけるW、E₁、E₂の挙動を調査する。
• カルテシアン積グラフにおいてW > E₁およびW > E₂が成り立つ十分条件を確立する。

提案手法

• E₁(G) = Σᵥ∈V(G) ε_G(v)² および E₂(G) = Σ_{uv∈E(G)} ε_G(u)ε_G(v) を定義する。ここで ε_G(v) は頂点 v のエクシセントリティである。
• ウィーナー指数 W(G) = ½ Σᵥ∈V(G) Tr_G(v) を用いる。ここで Tr_G(v) は v の伝搬時間である。
• 直径2のグラフを分析し、自己中心的グラフでは E₂(G) ≥ E₁(G) が成り立ち、等号成立は G ∈ {C₄, C₅} に限ることを証明する。
• すべての頂点が径路的であるようなグラフを普遍的径路的グラフとして導入する。
• パスを頂点に接続する構造的変換を用い、基本グラフからより大きなグラフ族への結果の拡張を行う。
• カルテシアン積におけるウィーナー指数およびエクシセントリティ指数の既知の公式を適用する：W(G□H) = n(H)²W(G) + n(G)²W(H)，および E₁(G□H) = n(H)E₁(G) + n(G)E₁(H) + 2ε(G)ε(H)。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木において、ウィーナー指数が第一ゾルブ・エクシセントリティ指数を上回る条件は何か？
• RQ2 直径2のグラフにおいて、ウィーナー指数とゾルブ・エクシセントリティ指数はどのように比較されるか？
• RQ3 どのようなグラフの構造的性質が、W(G) ≥ E₁(G) または W(G) ≥ E₂(G) を保証するか？
• RQ4 不等式 W ≥ E₁ または W ≥ E₂ はカルテシアン積演算によって保存されるか？
• RQ5 平均伝搬時間は、積グラフにおいてウィーナー指数がエクシセントリティ指数を上回る要因として果たす役割は何か？

主な発見

• 小径木ではウィーナー指数が W(T) ≥ E₂(T) を満たすが、大径木では W(T) < E₁(T) が成り立つ。
• 直径2の自己中心的グラフでは E₂(G) ≥ E₁(G) が成り立ち、等号成立は G が C₄ または C₅ に限る。
• 普遍的径路的グラフでは、すべての頂点にパスを接続しても、元のグラフで W(G) < E₁(G) が成り立つ限り、不等式 W(G) < E₁(G) が保たれる。
• G および H が連結グラフで、W(G) ≥ E₁(G)、W(H) ≥ E₁(H)、かつ max{n(G), n(H)} > 2 を満たすならば、W(G□H) > E₁(G□H) が成り立つ。
• avt(G) > 4d_G²d_H および avt(H) > 4d_H²d_G を満たす条件下で、W(G□H) > E₂(G□H) が成り立つ。
• 結果は、グラフの直径および構造的性質に応じてウィーナー指数が E₁ または E₂ を上回ることを示しており、木では明確な閾値が存在する。