[論文レビュー] Comparison Theorems for Backward Stochastic Volterra Integral Equations

Tianxiao Wang, Jiongmin Yong|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、生成子における単調性条件と双対性原理を用いて、多次元後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）の適応的解および適応的M解に関する比較定理を確立する。主な貢献は、適切な単調性および可積分性条件のもとで、終端条件および生成子がより大きいBSVIEの解が、他の解を支配することを証明することであり、これはBSDEsにおける比較結果をBSVIEsへと拡張するものである。

ABSTRACT

For backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs) in multi-dimensional Euclidean spaces, comparison theorems are established in a systematic way for the adapted solutions and adapted M-solutions. For completeness, comparison theorems for (forward) stochastic differential equations, backward stochastic differential equations, and (forward) stochastic Volterra integral equations (FSVIEs) are also presented. Duality principles are used in some relevant proofs. Also, it is found that certain kind of monotonicity conditions play crucial roles to guarantee the comparison theorems for FSVIEs and BSVIEs to be true. Various counterexamples show that the assumed conditions are almost necessary in some sense.

研究の動機と目的

• 多次元後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）の適応的解および適応的M解に関する体系的な比較定理を確立すること。
• 後向きストキャスティック微分方程式（BSDEs）および前向きSDEsにおいて知られている比較原理を、より一般的なBSVIEsの枠組みへと拡張すること。
• 比較定理の有効性に必要な最小限かつほとんど必須の条件——特に状態変数における単調性——を特定すること。
• 単調性が欠如する場合の比較結果の限界を明らかにし、反例を用いて仮定の必要性を示すこと。
• 動的リスク測定および確率的ユーティリティ理論への応用を探索すること。ここでは、BSVIEsは時間に依存しない好みや非適応的過程をモデル化できる。

提案手法

• 生成子に $ Z(s,t) $ 項が含まれるBSVIEsの比較定理の証明において、特に双対性原理を用いる。
• 2つの解の差の積分表現を用いた事前推定および事前比較の手法を適用する。
• $ Z(s,t) $-依存性を有するBSVIEsのための適応的M解の概念を導入し、適切な条件下で一意性を保証する。
• 生成子に対する選択論法を用いて、状態変数 $ y $ に関して非減少関数を構成し、固定点技法による比較を可能にする。
• 伊藤の公式およびマルティンゲール表現定理を用いて、2つの解の差過程の動的挙動を分析する。
• 反例の構築を用いて、生成子における単調性条件が比較が成立する上でほぼ必須であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端条件および生成子がより大きいBSVIEの解が、経路ごとの不等式の意味で、他の解を支配する条件は何か？
• RQ2 生成子に $ Z(s,t) $ が存在する場合、BSVIEsにおける比較定理の確立にどのような影響を与えるか？
• RQ3 非マルコフ的かつ非予測可能な構造を有するBSVIEsに対して、双対性原理を効果的に用いて比較定理を証明できるか？
• RQ4 比較定理が成立するための最小限の条件群——特に $ y $ における単調性——は何か？
• RQ5 生成子が $ y $ に関して単調でない場合、BSVIEsの比較結果はどの程度頑健か？代替的な形の比較は可能か？

主な発見

• 生成子が状態変数 $ y $ に関して非減少であるような選択を許容する場合、適切な可積分性および正則性条件のもとで、BSVIEsの適応的解に関する一般比較定理が成立する。
• 生成子が $ Z(s,t) $ に依存するBSVIEsでは、比較定理の確立に双対性原理が必要であり、その結果は弱い：解の積分の条件付き期待値同士が比較される。
• 生成子が $ Z(t,s) $ に関して線形で、$ Z(s,t) $ に依存する場合、適応的M解は、経路ごとの不等式ではなく、$ \mathbb{E}_t[\int_t^T Y^0(s)ds] \leq \mathbb{E}_t[\int_t^T Y^1(s)ds] $ の形で比較結果を満たす。
• 反例により、$ y $ における単調性がなければ、一般に比較定理は成立しないことが示され、このような条件がほぼ必須であることが示唆される。
• 本稿の結果は、[24, 25]における以前の主張を補正・拡張し、BSVIEsにおける比較定理が成立する厳密な条件を提示する。
• 本フレームワークは、非適応的過程および時間に依存しない好みを扱う動的リスク測定および確率的ユーティリティ理論への応用を支援する。