[論文レビュー] Comparison Theorems of Infinite Horizon Forward-Backward Stochastic Differential Equations

Liangquan Zhang, Yufeng Shi|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的手段と双対性技術を用いて、無限時間ホライズンの前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）の比較定理を確立する。単調性および可積分性の条件下で、係数および初期・終端条件が適切な不等式を満たす場合、あるFBSDEの解成分が他方のそれを支配することを証明しており、従来の有限時間ホライズンの結果を、多変数の前向きおよび後向き成分を含む無限時間ホライズンに拡張している。

ABSTRACT

By the methods of probability and duality technique, we give some comparison theorems for the solutions of infinite horizon forward-backwad stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 無限時間ホライズンにおける完全に結合された前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）の比較定理を確立すること。これは、有限時間ホライズンの結果を非有界時間領域に一般化することを目的とする。
• 非マルコフ型で多変数のFBSDEに対する既存の比較結果のギャップを埋めるために、無限時間ホライズンにわたる有効性を保証するための新しい技術的条件（H4）を導入すること。
• 後向きSDEの1次元比較結果を多変数の場合に拡張し、確率的制御および数学的ファイナンス分野における応用性を高めること。
• 確率的手法を用いて、解の解析のための厳密な理論的基盤を提供することにより、確率的最適制御、微分ゲーム、およびPDEの分野における応用を支援すること。
• Wu（2007）、Peng & Shi（2003）、Wu & Xu（2011）の先行研究を、次元および係数構造の面で完全に一般化した無限時間ホライズン設定に統合・拡張すること。

提案手法

• 元のFBSDEを双対後向き確率微分方程式（BSDE）に変換するための双対性技術を用い、双対過程を介して解成分の比較を可能にする。
• 差過程と双対過程の積に伊藤の公式を適用し、後向き成分の初期値の明示的表現を導出する。
• 解の存在および一意性を保証するため、標準的な仮定（H1）–（H4）を係数に課す。これらには単調性、リプシッツ連続性、可積分性が含まれ、解は空間 $\mathcal{B}^3 = \mathcal{S}^2 \times \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}^2$ 内に存在する。
• 多変数系に非退化な拡散係数を有する場合に特に有効な、従来の比較定理の制限を克服するための新規技術的条件（H4）を導入する。
• 偏微分方程式の手法に依存せず、確率過程およびその二次変動の比較に基づく確率的アプローチを採用する。
• 係数および終端条件の構造に応じて、初期値 $Y_0$ および $t \in [0, \infty)$ における $Y_t$ の経路的支配性の両方の比較結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ある無限時間ホライズンFBSDEの後向き成分 $Y_t$ がすべての $t \geq 0$ で他方を支配するか？
• RQ2 マルコフ型または非確率的係数を仮定しない多変数FBSDE（$n > 1$, $m > 1$）に対し、比較定理を確立できるか？
• RQ3 前向きおよび後向き係数が両方異なる2つのFBSDEにおいて、初期値 $Y_0$ の比較結果をどのように拡張できるか？
• RQ4 解が無限に近づいても減衰しない場合に、無限時間ホライズン設定における比較定理の有効性を保証するための技術的条件は何か？
• RQ5 双対性および確率的手法を用いて、後向きSDEの1次元比較結果を多変数の場合に一般化できるか？

主な発見

• 係数が $b^1 \geq b^2$, $f^1 \geq f^2$, $\Phi^1 \geq \Phi^2$, および $\sigma^1 = \sigma^2$ を満たす場合、仮定（H1）–（H4）のもとで、$n > 1$ かつ $m = 1$ であっても $Y_0^1 \geq Y_0^2$ が成り立つ。
• $n = m = 1$ の場合、単調性および可積分性の条件下で、$Y_t^1 \geq Y_t^2$ がすべての $t \geq 0$ で成り立つことが証明され、従来の結果が無限時間ホライズンに拡張された。
• 係数および初期・終端条件が適切な不等式を満たす場合、FBSDEの解成分 $Y_t$ は経路的に非減少となり、確率的支配性が保証される。
• 双対性技術により、比較問題が双対BSDEに変換され、伊藤の公式を用いて $\hat{Y}_0$ の明示的表現が得られた。この表現は、与えられた条件下で非負であることが示された。
• 前向き成分 $X^1$ と $X^2$ が異なる場合であっても、係数の差が制御されており、技術的条件（H4）が満たされていれば、$Y_0^1 \geq Y_0^2$ が成り立つことが示された。
• Wu（2007）、Peng & Shi（2003）、Wu & Xu（2011）の先行研究の有限時間ホライズンにおける比較定理を、次元および係数構造の面で完全に一般化し、無限時間ホライズンに拡張した。