[論文レビュー] Compatible finite element methods for numerical weather prediction

Colin J. Cotter, Andrew T. T. McRae|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体積外微分計算に基づく適合有限要素法を用いて、非構造的球面メッシュ上での回転浅い水方程式の安定的で保存的かつ高精度な離散化を実現する数値 weahter予測手法を提示する。主な貢献は、正確な地衡風モードと2次収束を有する、証明可能な安定性とエネルギー・エントロフィー保存型の定式化であり、イコサヘドロンメッシュ上でのWilliamsonテストケースを用いて実証されている。

ABSTRACT

This article takes the form of a tutorial on the use of a particular class of mixed finite element methods, which can be thought of as the finite element extension of the C-grid staggered finite difference method. The class is often referred to as compatible finite elements, mimetic finite elements, discrete differential forms or finite element exterior calculus. We provide an elementary introduction in the case of the one-dimensional wave equation, before summarising recent results in applications to the rotating shallow water equations on the sphere, before taking an outlook towards applications in three-dimensional compressible dynamical cores.

研究の動機と目的

• 適合有限要素を用いた、数値気象予測のための安定的で保存的な有限要素法の開発。
• 速度と圧力自由度のバランスを適切に保つことで、有限要素離散化における偽のモード分岐を解消すること。
• 有限体積外微分計算を用いて、Cグリッド有限差分法の模倣的性質を非直交な非構造的メッシュへと拡張すること。
• 球面上の浅い水方程式に対してエネルギー・エントロフィー保存型の定式化を可能とすること。
• 適合有限要素空間を用いた3次元圧縮性動力学コアの基盤を築くこと。

提案手法

• ベクトル微積分の微分構造を保持する適合有限要素空間（例：BDFM1-DG1、RTk-DG1）を用い、回転と発散の離散的類似恒等式を保証する。
• 速度の法線成分を連続、圧力を不連続とする混合有限要素法を採用し、安定性と整合性を確保する。
• 変分形式を用いて弱解を導出し、部分積分とポテンシャル渦度の整合的射影を用いて保存則を強制する。
• 非線形項に対してニュートン反復を用いた半implicit時間離散化を実装し、安定性と精度を確保する。
• 収束性と解の品質を評価するため、適応的メッシュ細分化を施したイコサヘドロン球面メッシュを用いる。
• エネルギー保存を維持しつつ、グリッドスケールでエントロフィーを散逸させるようにポテンシャル渦度輸送を修正し、グリッドスケールの振動を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適合有限要素法は、非構造的球面メッシュ上での浅い水方程式に対して、安定的で保存的かつ高精度な解を提供できるか？
• RQ2 速度と圧力のグローバル自由度比が、偽の慣性重力波またはロスビー波モードの有無にどのように影響するか？
• RQ3 Cグリッド有限差分法に類似した適合有限要素を用いて、エネルギー・エントロフィー保存型の定式化を構築できるか？
• RQ4 Williamsonテストケース5のようなベンチマークテストケースに適用した場合、適合有限要素法の収束速度と精度はどの程度か？
• RQ5 適切な有限要素空間（速度、密度、有効温度）を用いて、3次元圧縮性流れへのフレームワークの拡張は可能か？

主な発見

• BDFM1-DG1有限要素ペアは、細分化されたイコサヘドロンメッシュ上での収束プロットにより、Williamsonテストケース5における水深場で2次収束を達成していることが確認された。
• 速度と圧力の自由度比が2:1であるため、地衡風モードを正確に保存するという、数値気象予測にとって重要な性質を満たしている。
• グリッドスケールでのエントロフィー散逸を伴うエネルギー・エントロフィー保存型定式化は、バーチャル合体のシミュレーションでグリッドスケールの振動を効果的に防止した。
• ポテンシャル渦度保存則は、離散的変分形式に一貫して射影されており、離散系が元の物理法則を尊重していることが保証された。
• 15日目の速度場と水深場は、山地を越える過程で現実的かつ物理的に妥当な進化を示し、非物理的振動は観察されなかった。また、50日間の期間にわたりポテンシャル渦度場は良好に分解能を維持した。
• 3次元への拡張が可能であり、微分作用素を保持する4空間構造（V0からV3）を提案し、安定的で保存的な離散化を可能とした。