[論文レビュー] Competing first passage percolation on random regular graphs

Tonći Antunović, Yael Dekel+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、初期サイズ、拡散速度、または開始時刻が異なる2つの製品やウイルスが、ランダム正則グラフ上で競合する最初の通過確率を研究している。一般の場合、1つのプロセスが Θ(1)N^α 個の頂点を占領し、0 < α < 1 となることが示されている。ここで α は相対的な速度、初期サイズ、時間的優位性に依存する。これは、d次元グリッドでは線形的な市場シェアの分割が見られるのとは対照的である。

ABSTRACT

We consider two competing first passage percolation processes started from uniformly chosen subsets of a random regular graph on $N$ vertices. The processes are allowed to spread with different rates, start from vertex subsets of different sizes or at different times. We obtain tight results regarding the sizes of the vertex sets occupied by each process, showing that in the generic situation one process will occupy $Θ(1)N^α$ vertices, for some $0 &lt; α&lt; 1$. The value of $α$ is calculated in terms of the relative rates of the processes, as well as the sizes of the initial vertex sets and the possible time advantage of one process. The motivation for this work comes from the study of viral marketing on social networks. The described processes can be viewed as two competing products spreading through a social network (random regular graph). Considering the processes which grow at different rates (corresponding to different attraction levels of the two products) or starting at different times (the first to market advantage) allows to model aspects of real competition. The results obtained can be interpreted as one of the two products taking the lion share of the market. We compare these results to the same process run on $d$ dimensional grids where we show that in the generic situation the two products will have a linear fraction of the market each.

研究の動機と目的

• ランダム正則グラフ上の競合する拡散プロセスの漸近的サイズを分析すること。これは、ソーシャルネットワークにおける現実世界の競合をモデル化する。
• 初期サイズの差、拡散速度の差、時間的優位性が、バイラルマーケティングや感染症の拡散における市場シェアに与える影響を定量化すること。
• 現代のソーシャルネットワークを表すランダム正則グラフと、空間的または伝統的なネットワークを表すd次元トーラスとの間で、結果を比較すること。
• ランダム正則グラフでは、通常、1つのプロセスが線形的でないが非自明なネットワークの割合を占領することを確立すること。これは、空間グリッドでは見られる線形的分割とは対照的である。
• 確率的枠組みの中でカップリング法と下付きモジュラリティの議論を用いて、優位性の段階的転移を厳密に特徴付けること。

提案手法

• 各未彩色の頂点が、既に彩色された隣接頂点の数に比例した確率で青または赤に変化する連続時間マーケット過程としてプロセスをモデル化する。それぞれの色の拡散速度は、β および ρ として別々に定義する。
• 異なる初期条件や時間オフセットの下で、競合するプロセスの成長を比較するためにカップリング技術を用いる。
• 成長の上限を定めるために下付きモジュラリティの議論を適用し、初期シード集合の影響を分析する。
• d次元格子上の最初の通過確率に関する結果（例えば、Cox-Durrett定理）を活用し、トーラス上での極限的挙動を導出し、ランダム正則グラフと比較する。
• 幾何確率とメトリックスケーリング（定理6.1を介して）を用いて、大きなランダム正則グラフ上では、最終的な集合が連続的極限においてボロノイ型の分割に収束することを示す。
• エッジ選択確率がアクティブな色の速度に比例するルールに基づく離散時間版のプロセスを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる初期サイズ、速度、または開始時刻で始める場合、ランダム正則グラフ上では、各競合プロセスがどの程度の頂点数を占領するか？
• RQ2 ネットワークの構造（ランダム正則グラフ対 d次元グリッド）は、競合する拡散プロセスの結果にどのように影響するか？
• RQ3 時間的優位性やより大きな初期シードサイズは、競合的拡散プロセスにおける最終市場シェアにどのような影響を及ぼすか？
• RQ4 漸近的頂点数の観点から、どのような条件下で1つのプロセスが他方を支配するか？
• RQ5 d次元格子上での形状定理と同様に、ランダム正則グラフ上での競合的最初の通過確率の極限的挙動は、連続的幾何的極限によって特徴付けられるか？

主な発見

• ランダム正則グラフ上では、一般の場合、1つのプロセスが相対的な速度、初期サイズ、時間的優位性に依存する Θ(1)N^α 個の頂点を占領する。ここで 0 < α < 1 である。
• 指数 α は、拡散速度比、初期集合サイズ、時間オフセットの関数として明示的に計算可能であり、非線形的で非線形的な優位性を示している。
• d次元グリッドでは両プロセスが通常、ネットワークの線形的割合（Θ(N)）を占領するのに対し、ランダム正則グラフでは1つのプロセスに強く偏った不均衡が見られる。
• 大きなランダム正則グラフ上では、極限的挙動が、相対的な速度と初期位置によって決定される連続的度量空間上のボロノイ分割に収束する。
• 高確率で、速度が高く、初期集合が大きく、または早期に開始されたプロセスがネットワークを支配し、その支配は指数 α によって定量的に特徴付けられる。
• カップリング法と下付きモジュラリティの議論により、成長ダイナミクスがきめ細かく制御可能となり、最終的な集合サイズの厳密な漸近的解析が可能になる。