[論文レビュー] Competing risks within shock models

Antonio Di Crescenzo, Maria Longobardi|ArXiv.org|Sep 1, 2008

Probability and Risk Models参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二変量ポアソンショックモデルにおける競合リスク枠組みを導入し、2つの互いに排他的なショックタイプのいずれかによるシステムの故障を分析する。3つのスキーム（ショックの和、最小値、最大値がランダムな閾値Mに達する）における故障密度関数、生存関数、および条件付き故障モーメントの正確な表現を導出する。主な結果として、和スキームでは故障時刻と原因が独立であることが示され、修正ベッセル関数および累積ポアソン分布を含む明示的な式が得られる。

ABSTRACT

We consider a competing risks model, in which system failures are due to one out of two mutually exclusive causes, formulated within the framework of shock models driven by bivariate Poisson process. We obtain the failure densities and the survival functions as well as other related quantities under three different schemes. Namely, system failures are assumed to occur at the first instant in which a random constant threshold is reached by (a) the sum of received shocks, (b) the minimum of shocks, (c) the maximum of shocks.

研究の動機と目的

• 2つの互いに排他的なショックタイプによるシステムの故障をモデル化することで、ショックモデルに競合リスクを統合すること。
• ショックカウントの和、最小値、最大値に基づく3つの異なる閾値スキームにおける故障メカニズムを分析すること。
• 故障原因が与えられた条件での故障密度関数、生存関数、および条件付き故障モーメントの正確な表現を導出すること。
• 故障時刻と故障原因の間の確率的依存関係を調査し、特に和スキームではそれらが独立であることが示される点に注目すること。
• 共有成分を有する二変量ポアソン過程を用いて、非排他的ショックタイプへのモデルの拡張を試みること。

提案手法

• レート $\lambda_1$ および $\lambda_2$ の2つの独立な定常ポアソン過程 $N_1(t)$ および $N_2(t)$ を用いてショックをモデル化する。
• ランダム閾値 $M$（値を $\{1,2,\dots\}$ にとる）に達するショックカウントの和、最小値、または最大値に基づいて故障集合 $S_k$ を定義する。
• ハザードレートの分解と再帰的表現を用いて、各ショックタイプによる故障の部分密度関数 $f_1(t)$ および $f_2(t)$ を導出する。
• 補助関数 $E_k(x) = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{x^j}{j!}$ および修正ベッセル関数 $I_j(\cdot)$ を用いて、生存関数および密度関数を表現する。
• 故障集合の和をとることで生存関数 $\overline{F}_T(t)$ を導出し、閾値 $M$ の補完的累積分布関数 $\overline{P}_k$ を用いる。
• 共有ショックを有する三成分（$\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$）を有する二変量ポアソン過程を用いて、非排他的ショックタイプへのモデルの拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 競合リスクを伴うショックモデルにおいて、故障時刻 $T$ が故障原因 $\delta$ と確率的に独立になるのはどのような条件下か？
• RQ2 故障がランダム閾値 $M$ に達するショックの和によって引き起こされる場合、故障密度関数および生存関数はどのように振る舞うか？
• RQ3 故障が2つのショックカウントの最小値または最大値に達する場合、故障部分密度関数および生存関数の正確な数学的表現は何か？
• RQ4 二変量ポアソンフレームワークにおいて、閾値がショックカウントの和、最小値、または最大値に基づく場合、故障メカニズムはどのように異なるか？
• RQ5 モデルを非排他的ショックタイプに拡張できるか。その場合、故障集合およびハザード構造はどのように変化するか？

主な発見

• 和スキームでは、故障時刻 $T$ と故障原因 $\delta$ が確率的に独立であることが示され、ハザードレートおよび部分密度関数の構造から得られる非自明な結果である。
• 和スキームの生存関数は $\overline{F}_T(t) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=0}^{\infty} \overline{P}_k \left( \frac{(\lambda_1 t)^k}{k!} + \frac{(\lambda_2 t)^k}{k!} \right)$ で与えられ、ポアソン型の項の直接和として明示される。
• 最小値スキームでは、故障部分密度関数は $f_1(t) = \lambda_1 e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=1}^{\infty} p_k \frac{(\lambda_1 t)^{k-1}}{(k-1)!} E_k(\lambda_2 t)$ であり、累積ポアソン関数 $E_k(x)$ を含む。
• 最大値スキームでは、生存関数は $\overline{F}_T(t) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} \sum_{k=0}^{\infty} \overline{P}_k \left( \frac{(\lambda_2 t)^k}{k!} E_k(\lambda_1 t) + \frac{(\lambda_1 t)^k}{k!} E_{k+1}(\lambda_2 t) \right)$ で与えられ、$E_k(x)$ は前述の通り定義される。
• 最小値スキームおよび最大値スキームにおける部分密度関数の和は $\lambda_i e^{-\lambda_i t} \sum_{k=1}^{\infty} p_k \frac{(\lambda_i t)^{k-1}}{(k-1)!}$ に簡略化され、構造的類似性が強調される。
• $h$ 個のショックタイプを有する和スキームにおける生存関数の近似式が提示され、二変量ケースが高次元に一般化される。