[論文レビュー] Competition between stable equilibria in reaction-diffusion systems: the influence of mobility on dominance

Emmanuel Risler|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、反応拡散系における2つの安定な均衡状態をもつ系において、移動性が競争的優位に与える影響を分析し、摂動理論を用いて拡散係数の変化がフロント速度に与える1次効果を計算する。移動性の増加がシステムのパラメータに応じて有利または不利になることが示され、特に双安定性に近いロトカ＝ヴォルテラモデルにおいて、より高い拡散が有利であることを証明する。

ABSTRACT

This paper is concerned with reaction-diffusion systems of two symmetric species in spatial dimension one, having two stable symmetric equilibria connected by a symmetric standing front. The first order variation of the speed of this front when the symmetry is broken through a small perturbation of the diffusion coefficients is computed. This elementary computation relates to the question, arising from population dynamics, of the influence of mobility on dominance, in reaction-diffusion systems modelling the interaction of two competing species. It is applied to two examples. First a toy example, where it is shown that, depending on the value of a parameter, an increase of the mobility of one of the species may be either advantageous or disadvantageous for this species. Then the Lotka-Volterra competition model, in the bistable regime close to the onset of bistability, where it is shown that an increase of mobility is advantageous. Geometric interpretations of these results are given.

研究の動機と目的

• 反応拡散系において、2つの対称的な安定な均衡状態を結ぶ双安定フロントの速度が、拡散係数の変化にどのように影響を受けるかを特定すること。
• 生態動態学における長年の疑問、すなわち、移動性の低下または増加が競争的優位性に与える影響を解消すること。
• フロント速度の拡散摂動に対する1次依存性を計算する一般化された解析的フレームワークを提供すること。
• 2つのモデルを用いて理論を検証すること：明示的な解が得られる玩具的モデルと、双安定性の発現に近いロトカ＝ヴォルテラ競争モデル。
• 移動性の増加が競争的優位性を高めたり低下させたりする条件について、幾何的および解析的解釈を提供すること。

提案手法

• 2つの対称的かつ安定な均衡状態をもつ1次元の反応拡散系を定式化し、それらを結ぶスターディングフロントを想定する。
• 拡散行列に小さな摂動（例えば、1つの種の拡散係数の増加）を加えることで対称性を破る。
• 線形化と中心多様体理論を用いて、フロント速度の1次変化に関する解析的表現を導出する。
• 特異摂動技法を用いて、双安定性に近い状態におけるロトカ＝ヴォルテラモデルを分析する。
• 存在性と一意性を保証するため、横断性と固有値解析を適用する。
• 不安定多様体と安定多様体の交差に基づく幾何的解釈と、メルニコフ型積分を用いて結果を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの種の拡散係数に小さな変化を与えた場合、2つの対称的な安定な均衡状態を結ぶ双安定フロントの速度にどのような影響を与えるか？
• RQ2 競争的反応拡散系において、移動性の増加が有利または不利となる条件は何か？
• RQ3 双安定ダイナミクスを示すロトカ＝ヴォルテラ競争モデルでは、双安定性の発現に近い領域で、高分散か低分散が好ましいか？
• RQ4 フロント速度の拡散に対する1次依存性は解析的に計算可能か？その符号は何かが決定要因か？
• RQ5 拡散摂動下でのフロント解の横断性を保証する幾何的または力学的条件は何か？

主な発見

• フロント速度の拡散摂動に対する1次変化は、システムのパラメータに応じて正または負を取り得る。これは、移動性の増加が種にとって有利または不利になる可能性があることを示している。
• 明示的なスターディングフロント解が得られる玩具的モデルでは、重要なパラメータの値に応じて、速度変化の符号が両方とも観察され、移動性の非単調な効果を確認している。
• 双安定性の発現に近い領域におけるロトカ＝ヴォルテラ競争モデルでは、1次分析により移動性の増加が有利であることが示され、『結束は力ではない』タイプの結果を支持している。
• フロント解の横断性は、線形化作用素のゼロ固有値の代数的重複度が正確に1であることに等しい。
• 不安定多様体と安定多様体の幾何的構造、およびそれらの横断的交差は、小さな摂動下でもフロント解のロバスト性を保証し、孤立性を確保する。
• 分析により、移動性が優位性に与える影響が常に有利または不利であるとは限らず、反応速度論と拡散の相互作用に依存することが確認された。