[論文レビュー] Competitive Algorithms from Competitive Equilibria: Non-Clairvoyant Scheduling under Polyhedral Constraints

Sungjin Im, Janardhan Kulkarni+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多面体的リソース制約下での非クラリヴォイアントスケジューリングを扱う一般化されたフレームワークとしてPacking Scheduling Problem (PSP)を導入し、Proportional Fairnessを用いて総加重完了時間の最小化においてO(1)-competitiveなアルゴリズムを初めて提示する。さらに、非同一マシンにおける総フローファイタイムのスケーラブルな(1+ε)-speed O(1)-competitiveなアルゴリズムを構築し、非クラリヴォイアントスケジューリング分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We introduce and study a general scheduling problem that we term the Packing Scheduling problem. In this problem, jobs can have different arrival times and sizes; a scheduler can process job $j$ at rate $x_j$, subject to arbitrary packing constraints over the set of rates ($\vec{x}$) of the outstanding jobs. The PSP framework captures a variety of scheduling problems, including the classical problems of unrelated machines scheduling, broadcast scheduling, and scheduling jobs of different parallelizability. It also captures scheduling constraints arising in diverse modern environments ranging from individual computer architectures to data centers. More concretely, PSP models multidimensional resource requirements and parallelizability, as well as network bandwidth requirements found in data center scheduling. In this paper, we design non-clairvoyant online algorithms for PSP and its special cases -- in this setting, the scheduler is unaware of the sizes of jobs. Our two main results are, 1) a constant competitive algorithm for minimizing total weighted completion time for PSP and 2)a scalable algorithm for minimizing the total flow-time on unrelated machines, which is a special case of PSP.

研究の動機と目的

• データセンターや現代のコンピューティング環境における多次元リソース制約を捉える一般化されたスケジューリングフレームワーク—Packing Scheduling Problem (PSP)—を形式化すること。
• スケジューラーがジョブサイズを事前に把握できない非クラリヴォイアントオンラインアルゴリズムを、一般化されたパッケージング制約のもとで設計すること。
• 総加重完了時間の最小化において定数競合比を達成し、総加重フローファイタイムの最小化においてスケーラブルな(1+ε)-speed結果を得ること。
• 非クラリヴォイアントスケジューリングにおけるギャップを埋め、非同一マシンにおける総フローファイタイムを最小化する最初のスケーラブルなアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 各ジョブの処理レートがそのボトルネックリソースによって制限されるように、ジョブレートに多面体的制約を課したリソース割り当て問題としてPSPを形式化する。
• 従来は公平性最大化に用いられるが、瞬時のレート割り当てにProportional Fairness (PF)アルゴリズムを適用する。
• 慎重に構築された双対変数を用いた双対適合法：時間tにおけるマシンi上の有効ジョブ数に比例するβ_itと、ジョブjの遅延寄与度に比例するα_j。
• 単一マシン用に新たに設計したスケジューリングポリシーを、速度拡張を用いて非同一マシンに拡張する。
• 原双対解析を通じて競合比を確立し、ジョブの遅延およびランクに基づく議論により双対制約を検証し、双対目的関数の上限を導出する。
• ε > 0のパrameter化された解析を活用し、フローファイタイム最小化における(1+ε)-speed O(1)-competitive性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたパッケージング制約下で、非クラリヴォイアントスケジューリングにおいて、単一でシンプルなオンラインアルゴリズムが総加重完了時間の最小化で定数競合比を達成できるか？
• RQ2 リソース拡張なしで、PSPにおける総加重フローファイタイム最小化のための最良の可能な競合比は何か？
• RQ3 非クラリヴォイアント知識のもとで、非同一マシンスケジューリングに対して、スケーラブルな(1+ε)-speed O(1)-competitiveなアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 アドバーシャルな設定において、Proportional Fairnessアルゴリズムを遅延最小化に再利用することは有効に機能するか？
• RQ5 PSPにおける一般化されたパッケージング制約は、古典的設定と比較して、非クラリヴォイアントスケジューリングの限界にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Proportional Fairnessアルゴリズムは、クラリヴォイアントでない状況下においても、PSPにおける総加重完了時間の最小化でO(1)-competitiveな性能を達成する。
• 総加重フローファイタイムの最小化において、任意のO(n^{1−ε})-competitiveなアルゴリズムはo(√log n)の速度を必要とし、強い下界を示す。
• PFは総加重フローファイタイムの最小化においてO(log n)-speed O(log n)-competitiveであり、タイトな上界を提供する。
• 本稿は、非クラリヴォイアント設定下で、非同一マシンにおける総フローファイタイムを最小化する最初のスケーラブルな(1+ε)-speed O(1)-competitiveオンラインアルゴリズムを提示する。
• PSPフレームワークは、O(n^{1−ε})-competitiveな性能がo(√log n)の速度で不可能であるという下界により、古典的スケジューリングモデルよりもはるかに難しいことが示された。
• 適切に調整された双対変数α_jおよびβ_itを用いた双対適合法により、フローファイタイム目的関数に対して(1+ε)-speed O(1/ε²)-competitive性が確立された。