[論文レビュー] Compiling basic linear algebra subroutines for quantum computers

Liming Zhao, Zhikuan Zhao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、行列の加算、乗算、テンソル積、行列関数など、基本的な線形代数サブルーチンを量子ゲート列にコンパイルするためのフレームワークである量子行列代数ツールボックス（QMAT）を紹介する。位相推定とサンプリングを用いることで、トレース、行列式、スチャッテン p-ノルムなどのスカラー出力を、特異値が有界である限り、行列サイズに依存しない誤差境界で効率的に推定可能である。

ABSTRACT

Efficiently processing basic linear algebra subroutines is of great importance for a wide range of computational problems. In this paper, we consider techniques to implement matrix functions on a quantum computer, which are composed of basic matrix operations on a set of matrices. These matrix operations include addition, multiplication, Kronecker sum, tensor product, Hadamard product, and single-matrix functions. We discuss the composed matrix functions in terms of the estimation of scalar quantities such as inner products, trace, determinant and Schatten p-norms. We thus provide a framework for compiling instructions for linear algebraic computations into gate sequences on actual quantum computers.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータ上で基本的な行列演算を組み合わせ可能にする、量子コンパイルされたフレームワークの開発。
• 完全な状態再構築を伴わずに、トレース、行列式、スチャッテン p-ノルムなどのスカラー行列関数を効率的に推定可能にする。
• 高レベルの行列関数定義から、埋め込みヘルミート行列を用いた実行可能な量子ゲート列へのコンパイルパイプラインの提供。
• 特異値が有界である限り、スカラー推定の誤差境界が行列次元に依存しないことを保証する。
• 行列埋め込みへのユニタリアクセスを活用することで、BQP-完全な計算をサポートする。

提案手法

• 3×3の冪等行列を用いた3種類の埋め込み演算子 X₁(A)、X₂(A)、X₃(A) を用いて、非ヘルミート行列をヘルミート形式に埋め込む。
• 埋め込み済みヘルミート行列に対するハミルトニアンシミュレーション技術を用い、加算、乗算、クーロン和、テンソル積、ハダマード積などの基本的行列演算を実装する。
• 埋め込み行列の固有値に位相推定を適用し、トレース、行列式、スチャッテン p-ノルムなどのスカラー量を推定する。
• T 回の繰り返しによるモンテカルロサンプリングを用い、スチャッテンノルムのp乗を推定し、チェビシェフの不等式を用いて誤差を制限する。
• リプシッツ連続性とジェンセンの不等式を用いて誤差境界を確立し、相対誤差が行列次元Nに依存せず、εおよびσ推定誤差εσにのみ依存することを示す。
• 与えられた信頼水準aに対して、サンプル複雑度 T ≈ C(1 + εσ²)/(ε²a) を導出する。a = 0.01 では99%の信頼水準が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素行列における基本的な線形代数演算を、実際の量子ハードウェアに適した量子ゲート列にどのようにコンパイルできるか？
• RQ2 位相推定とサンプリングを用いた場合、トレース、行列式、スチャッテン p-ノルムなどのスカラー行列関数の推定において、達成可能な誤差境界は何か？
• RQ3 特異値に合理的な仮定を置いた場合、これらのスカラー量の推定誤差を行列次元Nに依存させない形にできるか？
• RQ4 位相推定ステップにおける所望の精度および誤差許容度と、サンプル複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 行列埋め込みは、線形代数タスクにおけるユニバーサル量子計算を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 特異値がΘ(1)である限り、スチャッテン p-ノルムの推定において、相対誤差が |ε|^(1/p) + κ_p |εσ|^(1/p) で抑えられ、行列次元Nに依存しない。
• 与えられた信頼水準aに対して、必要なサンプル数Tは O((1 + εσ²)/(ε²a)) に比例し、a = 0.01 では99%の信頼水準が保証される。
• トレース推定誤差は |Tr(A)|(1 ± ε ± ελ) で抑えられ、スチャッテンノルム推定のp=1ケースから導出されるサンプル複雑度 T ≈ C(1 + ελ²)/(ε²a) が得られる。
• 行列式推定誤差は Ke |Tr(log(A))| (ε_log(λ) + ε) で抑えられ、Ke は指数関数のリプシッツ定数であり、||A|| ≤ 1 のとき1である。
• 特異値が0および無限大から離れている限り、スチャッテンノルム推定の相対誤差は行列サイズNに伴って増大しない。
• 本手法は、埋め込み行列へのユニタリアクセスを活用することで、BQP-完全な計算をサポートする。