[論文レビュー] Complementarity and Related Problems

Lianghai Xiao|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 105被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、拡張された2次錐上での線形補完問題を、非負の鋭角に混合補完問題に再定式化することにより、効率的なアルゴリズム的手法による解法が可能となる、革新的なアプローチを提示する。さらに、確率的拡張を構築し、ポートフォリオ最適化への応用により、新しいモデルに対する解析的解を導出する。また、球的自己双対凸集合、特に球的2次錐を含む、二次関数の球的擬凸性の条件を確立する。

ABSTRACT

In this thesis, we present results related to complementarity problems. We study the linear complementarity problems on extended second order cones. We convert a linear complementarity problem on an extended second order cone into a mixed complementarity problem on the non-negative orthant. We present algorithms for this problem, and exemplify it by a numerical example. Following this result, we explore the stochastic version of this linear complementarity problem. Finally, we apply complementarity problems on extended second order cones in a portfolio optimisation problem. In this application, we exploit our theoretical results to find an analytical solution to a new portfolio optimisation model. We also study the spherical quasi-convexity of quadratic functions on spherically self-dual convex sets. We start this study by exploring the characterisations and conditions for the spherical positive orthant. We present several conditions characterising the spherical quasi-convexity of quadratic functions. Then we generalise the conditions to the spherical quasi-convexity on spherically self-dual convex sets. In particular, we highlight the case of spherical second order cones.

研究の動機と目的

• 最適化および均衡モデリングにおいて生じる、拡張された2次錐上での線形補完問題に対処すること。
• このような問題を、解法が容易な非負の鋭角上での混合補完問題に変換する変換を考案すること。
• 問題パラメータの不確実性を捉えるために、この枠組みを確率的状況に拡張すること。
• 理論的結果を新しいポートフォリオ最適化モデルに応用し、解析的解を導出すること。
• 特に球的2次錐を含む、球的自己双対凸集合上での二次関数の球的擬凸性を特徴付けること。

提案手法

• 適切な変換を用いて、拡張された2次錐上での線形補完問題を、非負の鋭角上での混合補完問題に再定式化すること。
• 変換された混合補完問題に特化した数値アルゴリズムを提案し、数値例を通じて妥当性を検証すること。
• ランダムパラメータを組み込んだ線形補完問題の確率的拡張を導入し、期待残差最小化法を用いて解くこと。
• 理論的枠組みを新しいポートフォリオ最適化モデルに応用し、補完条件を活用して解析的解を導出すること。
• 球的自己双対凸集合上での二次関数の球的擬凸性の必要十分条件を確立し、特に球的2次錐に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張された2次錐上での線形補完問題は、どのようにして効果的に数値解法に再定式化できるか？
• RQ2 この文脈において、確率性が補完問題の解構造に与える影響は何か？
• RQ3 提案された枠組みは、新しいポートフォリオ最適化モデルにおいて解析的解を導出できるか？
• RQ4 球的自己双対凸集合上での二次関数の球的擬凸性を保証する条件は何か？
• RQ5 球的2次錐の性質は、球的擬凸性の特徴付けにどのように影響するか？

主な発見

• 拡張された2次錐上での補完問題から非負の鋭角上での混合補完問題への変換により、標準的なソルバーを用いた効果的な数値的解法が可能になる。
• 数値例を通じて、提案されたアルゴリズム的手法の実行可能性と効率性が示された。
• 問題の確率的拡張は期待残差最小化法を用いて定式化され、元の問題の構造が保たれた。
• 拡張された2次錐上での補完条件に関する理論的結果を活用し、新しいポートフォリオ最適化モデルに対して解析的解が導出された。
• 球的自己双対凸集合上での二次関数の球的擬凸性の必要十分条件が確立され、球的2次錐に対して明示的な特徴付けがなされた。