[論文レビュー] Complete bounded holomorphic curves immersed in C^2 with arbitrary genus

Francisco Martín, Masaaki Umehara+1 more|ArXiv.org|Oct 29, 2008

Meromorphic and Entire Functions参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、[MUY] の genus zero の例に López の摂動法を適用し、それを変更することで、任意の genus を持つ Riemann 曲面の完全で有界な holomorphic 稜線の最初の既知の例を構成する。この技法は、ℝ³ における完全で有界な minimal 表面および ℒ³ における弱完全で有界な maximal 表面の両方を生成することができ、非自明なトポロジーおよび有限トポロジーをもつこのような表面のための、新たな洗練された構成法を提供する。

ABSTRACT

In the previous paper, the authors constructed a complete holomorphic immersion of the unit disk D into C^2 whose image is bounded. In this paper, we shall prove existence of complete holomorphic null immersions of Riemann surfaces with arbitrary genus and finite topology, whose image is bounded in C^2. To construct such immersions, we apply the method used by F. J. Lopez to perturb the genus zero example changing its genus. As an analogue the above construction, we also give a new method to construct complete bounded minimal immersions (resp. weakly complete maximal surface) with arbitrary genus and finite topology in Euclidean 3-space (resp. Lorentz-Minkowski 3-spacetime).

研究の動機と目的

• 任意の genus を持つ Riemann 曲面の完全で有界な holomorphic 稜線を ℂ² に構成すること。
• López の摂動法を、minimal 表面の構成において、グローバルな有界性と genus の制御を達成するために拡張すること。
• 任意の genus を持つ完全で有界な minimal 表面を、ユークリッド3次元空間に簡素化された方法で生成すること。
• Lorentz-Minkowski 3次元空間 ℒ³ において、任意の genus を持つ弱完全で有界な maximal 表面の最初の例を構成すること。
• 任意の genus を持つ完全で有界な null holomorphic 曲線が ℂ³ に存在するかどうかという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 文献 [L] の López の変形技法を、ℂ³ 内の genus zero の holomorphic 稜線を変形させることで、高次の genus を導入しつつ、完全性と有界性を維持するように適応する。
• コンpaktt Riemann 曲面 M（genus κ）から点 Q₀,…,Qₑ の近傍 Uₗ を取り除き、X: M∖∪Uₗ → ℂ² なる holomorphic 稜線を構成する。
• Q₀ に極をもち、Q₁,…,Qₑ に分岐点をもつ M 上の有理型関数 f を用いて、変形パラメータを定義する。
• 差分の反復自乗（fⱼ₊₁ = (fⱼ − cⱼ)²）を適用して、周期と成長が制御された holomorphic マップの族を生成する。
• 周期問題を解くために、周期写像のヤコビアンが原点で階数 3n をもつことを示し、解の存在を保証する。
• 有界性を示すために、∫a(t)b(t)dt の形の積分を、∫a および |b|, |b′| に有界性を与える補助補題を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus を持つ完全で有界な holomorphic 稜線の Riemann 曲面が ℂ² に構成可能か？
• RQ2 López の摂動法を、minimal 表面の構成においてグローバルな有界性を保証するために適応可能か？
• RQ3 任意の genus を持つ完全で有界な minimal 表面は ℝ³ に存在するか？ そして、簡素化された方法で構成可能か？
• RQ4 ℒ³ に任意の genus を持つ弱完全で有界な maximal 表面は存在するか？ その場合、どのように構成可能か？
• RQ5 この方法を、任意の genus を持つ ℂ³ 内の完全で有界な null holomorphic 曲線に拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の genus を持つ Riemann 曲面の完全で有界な holomorphic 稜線が ℂ² に初めて構成された。
• 本手法により、任意の genus を持つ完全で有界な minimal 稜線が ℝ³ に生成され、従来の手法よりも新たな洗練された構成法が得られた。
• Lorentz-Minkowski 3次元空間 ℒ³ において、任意の genus を持つ弱完全で有界な maximal 表面の最初の例が構成された。
• 周期問題は、周期写像のヤコビアンが原点で階数 3n をもつことを示すことによって解決され、解の存在が保証された。
• 有界性は、原始関数および微分係数に有界性を与える補題を用いて、∫a(t)b(t)dt の形の積分を制御することによって確立された。
• 本手法は、任意の genus を持つ ℂ³ 内の完全で有界な null holomorphic 曲線を生成するには拡張できないため、この問題は未解決のまま残されている。